Кафедра теоретической механики

Основные понятия динамики

Приступая к изучению новой учебной дисциплины, полезно иметь представление, что она изучает, какой метод исследования применяет, а также какое место занимает в системе естествознания и образования среди других наук и дисциплин. Напомним, что динамика – это раздел механики, а механика – это наука, изучающая механическое движение материальных объектов, то есть их взаимное перемещение в пространстве и во времени.

Две задачи динамики В динамике решают две основные задачи, которые мы и рассмотрим. Методика решения каждой из этих задач зависит от способа задания движения точки.

Пример Найти максимальную высоту подъема тела с массой m , брошенного вверх со скоростью v0 , пренебрегая сопротивлением воздуха. Решение. Проектируя основное уравнение динамики

ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ СИСТЕМЫ Под механической системой понимают совокупность материальных точек, связанных друг с другом. В зависимости от того, насколько прочно связаны точки системы, они могут образовать тот или иной материальный объект – от абсолютно твердого тела до системы точек вообще не связанных друг с другом.

ГЕОМЕТРИЯ МАСС СИСТЕМЫ Как известно из курса сопромата, прочность балки зависит не только от материала, из которого она изготовлена и площади поперечного сечения, но и от формы этого сечения. Момент сопротивления – основная геометрическая характеристика прочности балки – зависит от момента инерции ее сечения.

Пример По горизонтальной платформе, движущейся со скоростью v0, перемещается тележка с относительной скоростью u0. Найти скорость платформы при торможении тележки, если их массы равны M и m соответственно. Решение. На систему, состоящую из платформы весом P = Mg и тележки весом p = mg, помимо этих двух сил действует реакция дорожного полотна N, приложенная к основанию платформы

Кинетический момент точки и системы Пример Определить ускорение груза A, принимая барабан B за однородный цилиндр и полагая mA = mB Решение. Система состоит из двух тел: поступательно движущегося груза A и вращающегося барабана B . Кинетический момент системы относительно оси Oz , перпендикулярной плоскости чертежа и совпадающей с осью вращения барабана будет складываться из кинетических моментов этих двух тел

Кинетическая энергия системы Пример. Однородный стержень AB длиной l опускается под действием собственного веса, скользя концами по идеально гладким поверхностям. Найти скорость, которую будет иметь точка A стержня при его падении, если в данный момент времени она равняется vA

ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПОЛЕ СИЛ В этой главе мы дадим ответы на два вопроса, поставленных в предыдущей главе:

– почему элементарная работа силы обозначается через dA, а не через dA?

– в каком случае работа силы не зависит от вида траектории точки ее приложения?

ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА В этой главе мы ответим на вопросы, что такое центробежная сила и существуют ли так называемые силы инерции? Принцип Даламбера, к рассмотрению которого мы приступаем, существенно отличается от общих теорем динамики. Если последние позволяют получить первый интеграл и продвинуться на один шаг в решении задачи Коши для дифференциального уравнения движения, то принцип Даламбера в математическом аспекте ничем не отличается от основного уравнения динамики. Однако этот принцип имеет важное методологическое значение, позволяя свести по форме решение первой задачи динамики к задаче статики, что особенно привлекательно для студентов строительных специальностей.

ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ Возможные перемещения системы. Идеальные связи. Принцип возможных перемещений (ПВП) является основополагающим в механике. Он успешно используется при решении статических и динамических задач теоретической механики, сопротивления материалов, теории упругости и строительной механики. Основной вклад в обоснование и внедрение в практику ПВП был внесен Ж. Лагранжем. Определение. Возможными перемещениями точки называются воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в каждый момент времени наложенными на нее связями. Под возможными перемещениями системы мы будем понимать множество возможных перемещений всех ее точек.

ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА – ЛАГРАНЖА Этот принцип, как и следует из его названия, представляет собой сочетание двух уже известных нам принципов: принципа Даламбера и принципа возможных перемещений Лагранжа и формулируется следующим образом: В каждый момент времени сумма работ всех активных сил и сил инерции на любых возможных перемещениях системы, подчиненной идеальным, стационарным и двухсторонним связям, равна нулю

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА В этой главе мы получим дифференциальные уравнения движения несвободной механической системы с идеальными голономными связями, которые имеют большое значение в механике. Обобщенные координаты системы Напомним, что свободная материальная точка в трехмерном пространстве имеет три степени свободы и ее положение можно однозначно определить заданием трех декартовых координат. Система n таких точек имеет 3n степеней свободы и ее положение в пространстве определяется заданием 3n декартовых координат. Если на эту систему наложить связи, то, как уже отмечалось в третьей главе, число степеней свободы системы уменьшится и для определения ее положения в пространстве удобнее применять не декартовы, а обобщенные координаты.

Уравнения Лагранжа для потенциального поля сил Пример. Определить при каком значении обобщенной координаты q механическая система с одной степенью свободы находится в положении равновесия

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ Если систему вывести из положения устойчивого равновесия, она при определенных условиях начнет совершать колебания. Теория колебаний – один из важнейших разделов теоретической механики. Свободные колебания без учета сопротивления Дифференциальное уравнение свободных малых колебаний

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С S СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Кинетическая и потенциальная энергия системы Рассмотрим систему с s степенями свободы, подчиненную стационарным связям и помещенную в потенциальное поле сил.

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач