Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Вычисление двойных интегралов

Интегрирование по области, представляющей собой криволинейную трапецию

Рассмотрим область D={(x,y)½ y1(x) £ y £ y2(x),xÎ[a,b]}, где y1(x), y2(x) – непрерывные функции на [a,b]. Области такого вида будем называть областями типа A (см. ср1_6_2.swf). Области вида D={(x,y)½ x1(y) £ x £ x2(y),yÎ[c,d]}, где x1(y), x2(y) – непрерывные функции на [c,d] называются областями типа B (см. ср1_6_2.swf).

Теорема. Если для области типа A существуют  и для "xÎ[a,b], то существует  и

=. Примеры решения задач курс лекций Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Интегральное исчисление.

Доказательство. Пусть D={(x,y)½ y1(x) £ y £ y2(x),xÎ[a,b]}, где y1(x), y2(x) – непрерывные функции на [a,b]. Рассмотрим функцию

f *(x,y) = ,

где R=[A,B]´[C,D] прямоугольник содержащий область D. Для функции f * выполнены условия предыдущей теоремы, поэтому

=. Методика решения задач физика Кинематика Динамика Электростатика

Далее = =,= откуда и следует требуемое равенство. Аналогично доказывается

Теорема. Если для области типа B существуют  и для "yÎ[c,d], то существует  и

=.

График функции нескольких переменных Функции нескольких переменных и их дифференцирование

  Поверхности второго порядка Классификация поверхностей. Наряду с плоскостью, особое место среди поверхностей занимают поверхности второго порядка. Если F(x,y,z)- многочлен л-ой степени относительно х, у и z , где и - натуральное число (п > 1), то поверхность, заданная уравнением F(jc,_j/,z) = 0 , называется поверхностью 2 порядка. Пример. Плоскость Ах + By + Cz + D = О - поверхность первого порядка. Пример. Общее уравнение поверхности второго порядка имеет следующий вид Ах2 + By2 + Cz7 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + Gx + Hy + Kz + L=0. Здесь ко­эффициенты уравнения А, В, С, D, E и F одновременно не равны нулю. Замечание. Поверхность - более общее понятие, чем график функции двух переменных z = f(x,y), заданной явно. Часто поверхность представляет собой совокупность графиков функций двух переменных, заданных неявно. Уравнение сферы. Напомним, что сфера есть множество точек пространства, равноудаленных от некоторой точки (от центра сферы).

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач