Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

 

  Интегралы, зависящие от параметра

Собственные интегралы, зависящие от параметра

Непрерывность интеграла от параметра Критерий Коши необходимые и достаточные условия сходимости ряда

Рассмотрим интеграл

F(y) =

для области вида

Где f определена в области D (замкнутая), x1(y), x2(y) непрерывные функции, определенные на [c,d].

Теорема. Если f непрерывна на D , x1(y), x2(y) непрерывны на [c,d], то F(y) непрерывна на [c,d].

Доказательство. Функция f доопределим на прямоугольнике [a,b]´ [c,d] содержащем область D, как показано на рисунке, следующим образом: положим f(x,y) = f(x1(y), y) при фиксированном y Î [c,d] и "xÎ[a, x1(y)], аналогично в правой части области f(x,y) = f(x2(y), y) при y Î [c,d] и "xÎ[ x2(y), b]. Доопределенную функцию по прежнему будем обозначать f(x,y). Эта функция будет непрерывна на [a,b]´ [c,d].

Далее |F(y+Dy) - F(y)| =   = £ ++£ M|Dx1|+(b - a)e + M|Dx2|.

Здесь используется ограниченность функции f и ее равномерная непрерывность.

Кроме метода Пикара, к аналитическим методам относится и метод разложения неизвестной функции Y(х) в ряд, на котором мы сейчас остановимся.

Напишем формальное разложение Y(Х) в ряд Тейлора в точке а:.

Среди графических рассмотрим метод Эйлера. Суть его состоит в последовательном построении ломаной, начинающейся в точке (Хо,Yо), заданной начальным условием и дающей приблизительный вид графика искомой функции Y(х).

Определение. Пусть функция  f(x,y) определена на [a,b] для любого yÎY . Говорят, что f(x,y) равномерно сходится к g(x) на [a,b] при y®y0 если

"e >0$d >0"xÎ[a,b]"yÎUd(y0): |f(x,y) - g(x)|<e .

Можно доказать, что если f(x,y) непрерывна и равномерно сходится к g(x) на [a,b] при y®y0 , то функция g(x) непрерывна на [a,b].

Доказательство. Выпишем неравенства

|g(x)-g(x0)|=| g(x)-f(x,y) +f(x,y)-f(x0,y)-g(x0)+ f(x0,y)|£ | g(x)-f(x,y)|+ |f(x,y)-f(x0,y)|+ |g(x0)- f(x0,y)|. Для заданного e сначала выбираем d окрестность точки x0 так, чтобы в этой окрестности |f(x,y)-f(x0,y)|< e для любых y из некоторой окрестности точки y0 . Это можно сделать в силу равномерной непрерывности функции f(x,y). Величины | g(x)-f(x,y)|, |g(x0)- f(x0,y)| можно сделать также < e выбором ещё меньшей окрестности точки y0 для всех x в силу равномерной сходимости f(x,y) к g(x) .

Теорема. Если f(x,y) непрерывна и равномерно сходится к g(x) на [a,b] при y®y0 , то

.

Доказательство. |b - a|e .

  Поверхности второго порядка Классификация поверхностей. Наряду с плоскостью, особое место среди поверхностей занимают поверхности второго порядка. Если F(x,y,z)- многочлен л-ой степени относительно х, у и z , где и - натуральное число (п > 1), то поверхность, заданная уравнением F(jc,_j/,z) = 0 , называется поверхностью 2 порядка. Пример. Плоскость Ах + By + Cz + D = О - поверхность первого порядка. Пример. Общее уравнение поверхности второго порядка имеет следующий вид Ах2 + By2 + Cz7 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + Gx + Hy + Kz + L=0. Здесь ко­эффициенты уравнения А, В, С, D, E и F одновременно не равны нулю. Замечание. Поверхность - более общее понятие, чем график функции двух переменных z = f(x,y), заданной явно. Часто поверхность представляет собой совокупность графиков функций двух переменных, заданных неявно. Уравнение сферы. Напомним, что сфера есть множество точек пространства, равноудаленных от некоторой точки (от центра сферы).

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач