Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Свойства определенного интеграла

1.Простейшие свойства

1)

Если f и g интегрируемы на D, то f + g также интегрируема и

(f(x,y) + g(x,y))dxdy = f(x,y)dxdy + g(x,y)dxdy. Примеры решения задач курс лекций Площадь поверхности тела вращения Интегральное исчисление.

Доказательство. Пусть w¢k колебание функции f на Dk , w¢¢k колебание функции g на Dk , wk колебание функции f+g на Dk . Тогда

wk =sup|f(P¢)+g(P¢) – f(Q¢) – g(Q¢)|£ sup(|f(P¢)– f(Q¢) |+| g(P¢)– g(Q¢)|)£ 

£ sup|f(P¢) - f(Q¢)|+ sup|g(P¢) – g(Q¢)|=w¢k + w¢¢k . Отсюда

S(f+g ,D) – s(f+g ,D)=Swk Dxk £ Sw¢k Dxk + Sw¢¢k Dxk . Дифференциальное исчисление функции одной переменной Логарифмическое дифференцирование

Откуда следует интегрируемость суммы. Далее для какой-нибудь сходящейся последовательности интегральных сумм

sm(f+g) = sm(f) + sm(g).

переходя к пределу при m®¥ получим требуемое равенство.

Если f интегрируема на D , то cf(x) также интегрируема и

c f(x,y)dxdy =cf(x,y)dxdy.

Утверждение следует из соотношения s(cf,D,X)= cs(f,D, X) для интегральных сумм.

Если f интегрируема на D , то |f| также интегрируема и

| f(x,y)dxdy | £| f(x,y)|dxdy. Свойства двойного интеграла Тройные и двойные интегралы при решении задач

Доказательство. Пусть w¢k колебание функции | f | на Dk , а wk колебание функции f на Dk . Тогда

w¢k =sup||f(P¢)| –| f(Q¢)||£ sup|f(P¢)– f(Q¢) |= wk .

Откуда следует интегрируемость | f |. Далее для сходящейся последовательности интегральных сумм

|sm(f)|£ sm(|f|).

переходя к пределу при m®¥ получим требуемое неравенство.

Если f, g интегрируемы на D , то fg также интегрируема.

Доказательство. Так как функции интегрируемы, то они ограничены |f(x,y)|£ M, |g(x,y)|£ M . Пусть w¢k колебание функции  f на Dk , w¢¢k колебание функции g на Dk, а wk колебание функции f g на Dk . Выполнено соотношение

f(P)g(P) – f(Q)g(Q) = f(P)g(P) – f(P)g(Q) + f(P)g(Q) – f(Q)g(Q) =

=  f(P)(g(P) –g(Q)) + g(Q)( f(P) – f(Q)). Откуда следует неравенство

w£ Mw¢¢k + Mw¢k и, следовательно, функция fg интегрируема.

Если f отлична от 0 лишь в конечном числе точек, то она интегрируема и ее интеграл равен нулю.

Доказательство. Для одной точки. Обозначим P0 точку, в которой f(P0)¹0.

Для заданного e >0 рассмотрим e-окрестность Ue точки P0. Если характеристика разбиения l(D)< e , то для любой интегральной суммы будет справедлива оценка . Это следует из того, что все, возможно отличные от нуля слагаемые суммы  попадут в Ue .

Следствие. Если f1 интегрируема, и f2 отлична от f1 на конечном числе точек, то f2 также интегрируема и

 f1(x,y)dxdy = f2(x,y)dxdy .

Доказательство. f2 = f1 + ( f2 – f1 ).

Замечание. Можно доказать, что справедливо и утверждение: Если f отлична от 0 лишь в конечном числе точек или линий, то она интегрируема и ее интеграл равен нулю.

Если f и g интегрируемы на D и f £ g на D , то

f(x,y) dxdy £ g(x,y) dxdy .

Для сходящейся последовательности интегральных сумм

sm(f)£ sm(g).

  Поверхности второго порядка Классификация поверхностей. Наряду с плоскостью, особое место среди поверхностей занимают поверхности второго порядка. Если F(x,y,z)- многочлен л-ой степени относительно х, у и z , где и - натуральное число (п > 1), то поверхность, заданная уравнением F(jc,_j/,z) = 0 , называется поверхностью 2 порядка. Пример. Плоскость Ах + By + Cz + D = О - поверхность первого порядка. Пример. Общее уравнение поверхности второго порядка имеет следующий вид Ах2 + By2 + Cz7 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + Gx + Hy + Kz + L=0. Здесь ко­эффициенты уравнения А, В, С, D, E и F одновременно не равны нулю. Замечание. Поверхность - более общее понятие, чем график функции двух переменных z = f(x,y), заданной явно. Часто поверхность представляет собой совокупность графиков функций двух переменных, заданных неявно. Уравнение сферы. Напомним, что сфера есть множество точек пространства, равноудаленных от некоторой точки (от центра сферы).

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач