Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций


  Преобразования базисов и координат, криволинейные координаты

Преобразование координат

Даны базисы ei ,  и ei , i . Обозначим матрицы связывающие эти базисы ,,,.

i = ej  , ei = j  Þ =  (5) Скалярное и векторное поле. Определение и основные свойства градиента, дивергенции, ротора, потока и циркуляции векторного поля.

Равенство =  в развернутом виде выглядит следующим образом

=,

Таким образом, если придерживаться правила порядка написания индексов суммирования: «левый внизу, правый вверху», то для матриц верхний индекс указывает номер строки, а нижний – номер столбца.

j = ei , ej = Þ =  (6)

Последнее равенство в матричном виде: Двойные интегралы в произвольной области Тройные и двойные интегралы при решении задач

=.

Умножая первое равенство из (5) на ek , а второе равенство из (6) на k получим выражения для матриц перехода между базисами

(i , ek) = , (ej , k ) = Þ (i , ek ) = .

Таким образом, = . Аналогично показывается, что = . Равенства (5), (6) перепишутся в виде

i = ej  , ei = j  (7)

j = ei , ej = i (8)

Равенства (7), (8) в развернутом виде:

=,

=

(7)

=,

=

(8)

 

Выпишем формулы преобразования координат при переходе к другому базису, например, для контравариантных координат.

Имеем x = i  i = ei x i или x==. Подставляя во второе равенство ei из (7) получим

x = j  x i , откуда j j = j xi и j = xi.

Аналогично из равенств  , ek = I получаем   откуда . Таким образом,

=, =.

Полученные формулы j = xi ,  позволяют сформулировать правило: координаты векторов при переходе к новому базису преобразуются по тем же законам, что и вектора сопряженного базиса.

 

  Поверхности второго порядка Классификация поверхностей. Наряду с плоскостью, особое место среди поверхностей занимают поверхности второго порядка. Если F(x,y,z)- многочлен л-ой степени относительно х, у и z , где и - натуральное число (п > 1), то поверхность, заданная уравнением F(jc,_j/,z) = 0 , называется поверхностью 2 порядка. Пример. Плоскость Ах + By + Cz + D = О - поверхность первого порядка. Пример. Общее уравнение поверхности второго порядка имеет следующий вид Ах2 + By2 + Cz7 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + Gx + Hy + Kz + L=0. Здесь ко­эффициенты уравнения А, В, С, D, E и F одновременно не равны нулю. Замечание. Поверхность - более общее понятие, чем график функции двух переменных z = f(x,y), заданной явно. Часто поверхность представляет собой совокупность графиков функций двух переменных, заданных неявно. Уравнение сферы. Напомним, что сфера есть множество точек пространства, равноудаленных от некоторой точки (от центра сферы).

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач