Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Критерий интегрируемости Нижний и верхний интегралы. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Определение. Пусть D={Dk}. Колебанием функции f(x) на множестве Dk будем называть величину

wk (f) = sup |f(P) – f(Q)| = Mk – mk , где точная верхняя грань берется по всевозможным P, Q из Dk , mk =, Mk =.

отметим, что

S(f,D) - s(f,D) =. Примеры решения задач курс лекций Вычисление объемов тел. Интегральное исчисление.

Определение. Нижним интегралом называется точная верхняя грань нижних сумм Дарбу = sup s(f,D). Верхняя грань берется во всевозможным разбиениям области D. Аналогично определяется верхний интеграл , как точная нижняя грань верхних сумм Дарбу = inf S(f,D).

Отметим, что для ограниченной функции существует, как нижний, так и верхний интегралы. Это следует из того, что множество значений нижних сумм Дарбу ограничено сверху, например, значением любой верхней суммы Дарбу. Тоже самое можно сказать об ограниченности снизу множества значений верхних сумм Дарбу.

Теорема. Для любого разбиения D данного отрезка справедливы неравенства

s(f,D) £ £ £ S(f,D).

Доказательство. Не очевидным является только неравенство £ . Предположим противное, т.е., что  < . Выберем непересекающиеся e окрестности точек , , +e <- e. По определениям точных граней найдутся два разбиения D1 , D2 такие, что S(f,D1)< +e <- e < s(f,D2), что противоречит свойству сумм Дарбу.

Площадь криволинейной трапеции Тройные и двойные интегралы при решении задач

  Поверхности второго порядка Классификация поверхностей. Наряду с плоскостью, особое место среди поверхностей занимают поверхности второго порядка. Если F(x,y,z)- многочлен л-ой степени относительно х, у и z , где и - натуральное число (п > 1), то поверхность, заданная уравнением F(jc,_j/,z) = 0 , называется поверхностью 2 порядка. Пример. Плоскость Ах + By + Cz + D = О - поверхность первого порядка. Пример. Общее уравнение поверхности второго порядка имеет следующий вид Ах2 + By2 + Cz7 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + Gx + Hy + Kz + L=0. Здесь ко­эффициенты уравнения А, В, С, D, E и F одновременно не равны нулю. Замечание. Поверхность - более общее понятие, чем график функции двух переменных z = f(x,y), заданной явно. Часто поверхность представляет собой совокупность графиков функций двух переменных, заданных неявно. Уравнение сферы. Напомним, что сфера есть множество точек пространства, равноудаленных от некоторой точки (от центра сферы).

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач