Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Криволинейные интегралы

Криволинейные интегралы 2-го рода

Определение, существование.

Рассмотрим кривую g с началом в точке A и концом в точке B. Пусть D={Ak} разбиение кривой D={Ak} и ) и X={ Mk } , Mk=(xk , hk , zk ), набор промежуточных точек, Dxj=xj+1 – xj . Примеры решения задач курс лекций Формула парабол Интегрирование по частям

Нахождение неопределённых интегралов Формула понижения степени

Для f образуем интегральные суммы

  (1)

Предел сумм (1) при l(D)®0, если он не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек, называется криволинейным интегралом 2-го рода и обозначается

 (2) Двойные интегралы в полярных координатах Тройные и двойные интегралы при решении задач

Характеристика разбиения определяется также, как для интеграла первого рода. Аналогично можно определить интегралы

, .

Замечание. Нетрудно видеть, что если началом выбрать точку B, то все xj  меняют знак, поэтому

  = .

Теорема. Пусть AB задана в параметрическом виде

, tÎ[a, b] (3)

Если (3) непрерывна и x(t) – непрерывно дифференцируема, f – непрерывна на AB, то интеграл (2) существует и

  = .

Доказательство.

==

Последнюю сумму в этом равенстве можно представить в виде

+.

Здесь первая сумма является интегральной для интеграла, а вторая может быть сделана меньше любого наперед заданного e >0 выбором достаточно мелкого разбиения в силу равномерной непрерывности функции .

Замечание. Зачастую удобно рассматривать интегралы вида

++===

==.

Интеграл   можно интерпретировать, как работу силового поля вдоль пути g .

  Поверхности второго порядка Классификация поверхностей. Наряду с плоскостью, особое место среди поверхностей занимают поверхности второго порядка. Если F(x,y,z)- многочлен л-ой степени относительно х, у и z , где и - натуральное число (п > 1), то поверхность, заданная уравнением F(jc,_j/,z) = 0 , называется поверхностью 2 порядка. Пример. Плоскость Ах + By + Cz + D = О - поверхность первого порядка. Пример. Общее уравнение поверхности второго порядка имеет следующий вид Ах2 + By2 + Cz7 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + Gx + Hy + Kz + L=0. Здесь ко­эффициенты уравнения А, В, С, D, E и F одновременно не равны нулю. Замечание. Поверхность - более общее понятие, чем график функции двух переменных z = f(x,y), заданной явно. Часто поверхность представляет собой совокупность графиков функций двух переменных, заданных неявно. Уравнение сферы. Напомним, что сфера есть множество точек пространства, равноудаленных от некоторой точки (от центра сферы).

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач