Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Криволинейные интегралы

Криволинейные интегралы 1-го рода

Определение, существование Площадь поверхности тела вращения Вычисление определенного интеграла

Рассмотрим спрямляемую кривую g и функцию f(x,y,z), определенную на этой кривой

«Упорядоченный вдоль кривой» набор точек {Ak}, k=0,1,…,n называется разбиением кривой D={Ak} . На каждой дуге Ak Ak+1 задана промежуточная точка Mk=(xk , hk , zk ), X={ Mk }, обозначим длину дуги Ak Ak+1 через lk . Характеристикой разбиения D назовем величину l(D) = max lk . Составим интегральные суммы следующего вида Определение тройного интеграла Тройные и двойные интегралы при решении задач

s(f,D,X)= (1).

Предел сумм (1) при стремлении к нулю характеристики разбиения l(D), при условии существования этого предела и независимости его от выбора промежуточных точек, называется криволинейным интегралом 1-го рода и обозначается

. Примеры решения задач курс лекций Формула прямоугольников Интегрирование по частям

Точное определение на кванторах дается так же, как и для обычного интеграла.

Замечание. Если кривая g плоская, (например, лежит в плоскости Oxy), и f=f(x,y), то интеграл обозначается .

  Рассмотрим случай, когда кривая задана параметрически

, tÎ[a, b] (2)

Теорема. Если кривая (2) непрерывно дифференцируема без особых точек

  (x¢ 2+y¢ 2+z¢ 2¹0), функция f(x,y,z) непрерывна на (2), тогда криволинейный интеграл существует и имеет место равенство

= (3)

Доказательство. Для простоты будем рассматривать случай плоской кривой. Выберем разбиение {tj} отрезка [a, b]. Промежуточные точки qj выберем так , что

,

соответствующие точки на кривой g обозначим Mj=(xj ,hj )=( x(qj),y(qj) ). Для интегральной суммы получим

==

Полученная сумма является интегральной суммой для интеграла , откуда и следует требуемое утверждение.

Замечание 1. Отметим, что интеграл первого рода не зависит от выбора направления порядка точек разбиения {Ak} ( то, что в дальнейшем будет определяться, как ориентация кривой ). Точки A, B могут совпадать.

Замечание 2. Можно использовать эквивалентное определение интеграла первого рода, где в интегральных суммах вместо длины дуги lk используется длина хорды D lk .

Покажем эквивалентность этих определений для гладкой кривой.

===+.

Второй интеграл в последнем равенстве можно сделать сколь угодно малым выбором достаточно мелкого разбиения. Действительно,

=. Знаменатель этой дроби ограничен снизу (у кривой нет особых точек и вторая теорема Вейерштрасса). Числитель можно сделать малым в силу равномерной непрерывности. Таким образом, пределом сумм будет тот же интеграл

.

 

  Поверхности второго порядка Классификация поверхностей. Наряду с плоскостью, особое место среди поверхностей занимают поверхности второго порядка. Если F(x,y,z)- многочлен л-ой степени относительно х, у и z , где и - натуральное число (п > 1), то поверхность, заданная уравнением F(jc,_j/,z) = 0 , называется поверхностью 2 порядка. Пример. Плоскость Ах + By + Cz + D = О - поверхность первого порядка. Пример. Общее уравнение поверхности второго порядка имеет следующий вид Ах2 + By2 + Cz7 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + Gx + Hy + Kz + L=0. Здесь ко­эффициенты уравнения А, В, С, D, E и F одновременно не равны нулю. Замечание. Поверхность - более общее понятие, чем график функции двух переменных z = f(x,y), заданной явно. Часто поверхность представляет собой совокупность графиков функций двух переменных, заданных неявно. Уравнение сферы. Напомним, что сфера есть множество точек пространства, равноудаленных от некоторой точки (от центра сферы).

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач