Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Суммы Дарбу и их свойства Определения.

Пусть функция f(x,y) определена на D и D={Dk} разбиение этой области. Нижней суммой Дарбу называется сумма

s(f,D)=, mk =. Аналитическая геометрия в пространстве Типовые расчеты (курсовые задания) Матричный метод решения систем линейных уравнений

Верхней суммой Дарбу называется сумма

S(f,D)=, Mk =.

Свойства сумм Дарбу. Примеры решения задач курс лекций Нахождение площади криволинейного сектора Интегральное исчисление.

Определение. Если разбиение D2 получено из разбиения D1 добавлением некоторого числа новых линий, то говорят, что разбиение D2 следует за разбиением D1 (или D2 является более мелким, чем D1), при этом пишут D1  D2 .

Для любого разбиения D и набора промежуточных точек XÎD имеют место соотношения

s(f,D) £ s( f,D, X) £ S(f,D), s(f,D) = s( f,D, X), S(f,D) = s( f,D, X).

Следует непосредственно из определения интегральных сумм и сумм Дарбу.

2) Если D1  D2 два разбиения D, то

s(f,D1)  £ s(f,D2) , S(f,D2) £ S(f,D1) .

Другими словами, при измельчении разбиения нижние суммы могут только возрасти, а верхние суммы могут только уменьшиться. Это утверждение достато￿но￿доказат￿ для случая, когда второе разбиение получено из первого разбиением некоторого множества D¢k первого разбиения D1 на два квадрируемых множества D¢¢k, D¢¢k+1. Рассмотрим нижние суммы Дарбу. Введем обозначения

, , . Нижняя грань по всему множеству D¢k будет меньше или равна, чем нижняя грань по части этого множества, поэтому m¢k£ m¢¢k , m¢k£ m¢¢k+1 . Для нижних сумм Дарбу можно записать

s(f,D1)=m¢k mD¢k +..., Определенный интеграл Тройные и двойные интегралы при решении задач

s(f,D2) = m¢¢k mD¢¢k + m¢¢k+1 mD¢¢k+1 +...

  В каждой из сумм показаны только слагаемые, которыми они отличаются. Таким образом, разность сумм

s(f,D2) - s(f,D1) = m¢¢k mD¢¢k + m¢¢k+1 mD¢¢k+1 - m¢k mD¢k = m¢¢k mD¢¢k + m¢¢k+1 mD¢¢k+1 -

- m¢k (mD¢¢k +mD¢¢k+1) = (m¢¢k - m¢k) mD¢¢k +( m¢¢k+1 - m¢k ) mD¢¢k+1 ³ 0.

Аналогично доказывается утверждение для верхних сумм Дарбу.

Для любых разбиений D1 ,D2 данного отрезка справедливо неравенство

s(f,D1)  £ S(f,D2).

Обозначим через D3 = D1 ÈD2 разбиение, образованное всеми линиями двух исходных разбиений. Очевидно D1  D3 , D2  D3 . Тогда, как это следует из предыдущего свойства

s(f,D1)  £ s(f,D3) £ S(f,D3) £ S(f,D2),

откуда и следует доказываемое неравенство.

 

  Поверхности второго порядка Классификация поверхностей. Наряду с плоскостью, особое место среди поверхностей занимают поверхности второго порядка. Если F(x,y,z)- многочлен л-ой степени относительно х, у и z , где и - натуральное число (п > 1), то поверхность, заданная уравнением F(jc,_j/,z) = 0 , называется поверхностью 2 порядка. Пример. Плоскость Ах + By + Cz + D = О - поверхность первого порядка. Пример. Общее уравнение поверхности второго порядка имеет следующий вид Ах2 + By2 + Cz7 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + Gx + Hy + Kz + L=0. Здесь ко­эффициенты уравнения А, В, С, D, E и F одновременно не равны нулю. Замечание. Поверхность - более общее понятие, чем график функции двух переменных z = f(x,y), заданной явно. Часто поверхность представляет собой совокупность графиков функций двух переменных, заданных неявно. Уравнение сферы. Напомним, что сфера есть множество точек пространства, равноудаленных от некоторой точки (от центра сферы).

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач