Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Кратные интегралы

Замена переменных в тройном интеграле

1.Отображение областей. Криволинейные координаты

Рассмотрим область V в системе координат (x,y,z) и область D в системе координат (x1,x2,x3) . Примеры решения задач курс лекций Кратные интегралы Интегральное исчисление.

Системы координат

Кроме того, пусть задано взаимно-однозначное соответствие между этими областями, осуществляемое регулярным отображением ( регулярное – взаимно-однозначное и такое, что прямое и обратное непрерывно дифференцируемы )

 (1)

Будем предполагать, что матрица Якоби отображения (1) не вырождена всюду в области D. Наборы координат (x,y,z) и (x1,x2,x3) удобно интерпретировать следующим образом: каждая точка M из области V определяется, как ее исходными ( в дальнейшем это будут декартовы координаты ) координатами, так и координатами (x1,x2,x3), которые в отличии от исходных координат называются криволинейными координатами. В основе этой терминологии лежит геометрический подход. Так, если в (1) фиксировать две из трех координат x1,x2,x3, то получим линию, которая называется координатной линией. Множество всевозможных линий, полученных фиксированием второй и третьей координат обозначим S1 (параметром линии служит первая координата x1 ). Аналогично определяются еще два семейства линий S2 , S3 . При сделанных предположениях через каждую точку будет проходить ровно по одной линии из этих семейств. Таким образом задание точки однозначно определяется заданием трех линий l1ÎS1, l2ÎS2, l3ÎS3 . Наряду с координатными линиями можно рассматривать координатные поверхности, которые получаются, если в (1) фиксировать одну из координат, а остальные две использовать для параметрического задания поверхности. Метод замены переменной Тройные и двойные интегралы при решении задач

 Рассмотрим три координатные линии, проходящие через заданную точку области V

Касательные вектора в точке пересечения этих линий обозначим через

  (2)

Эти вектора образуют базис, так как они не компланарны

.

Для данного базиса единственным образом можно определить базис 1, 2, 3 такой, что (,j)=. Такой базис называется взаимным. Векторы взаимного базиса определяются по формулам

1=,2=,3=. (3)

 

 

 

Определение. Криволинейная система координат (1) называется ортогональной, если в каждой точке области V базис (2) является ортогональным.

В случае ортогональной системы координат формулы (3) упрощаются. Будем предполагать, что тройка  правая. Положим H1=, H2=, H3=, величины H1, H2, H3 называются коэффициентами Ламе. В силу ортогональности ( тройка правая )

= H1 H2 H3 , = H2 H3,= H3 H1,= H1 H2.

Откуда следует, что

*= , = , =.

  Поверхности второго порядка Классификация поверхностей. Наряду с плоскостью, особое место среди поверхностей занимают поверхности второго порядка. Если F(x,y,z)- многочлен л-ой степени относительно х, у и z , где и - натуральное число (п > 1), то поверхность, заданная уравнением F(jc,_j/,z) = 0 , называется поверхностью 2 порядка. Пример. Плоскость Ах + By + Cz + D = О - поверхность первого порядка. Пример. Общее уравнение поверхности второго порядка имеет следующий вид Ах2 + By2 + Cz7 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + Gx + Hy + Kz + L=0. Здесь ко­эффициенты уравнения А, В, С, D, E и F одновременно не равны нулю. Замечание. Поверхность - более общее понятие, чем график функции двух переменных z = f(x,y), заданной явно. Часто поверхность представляет собой совокупность графиков функций двух переменных, заданных неявно. Уравнение сферы. Напомним, что сфера есть множество точек пространства, равноудаленных от некоторой точки (от центра сферы).

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач