Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Кратные интегралы

Тройные и n-кратные интегралы

Сведение тройного интеграла к повторному для областей общего вида Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Тройные и двойные интегралы при решении задач

Пусть V – область, расположенная между плоскостями x=a, x=b, Lx – плоскость параллельная координатной плоскости Oyz, проходящая через точку x.Для x Î [a,b] обозначим через Dx сечение VÇ Lx . Будем предполагать, что Dx квадрируема для всех x Î [a,b]. При этих предположениях справедлива

Теорема. Если существует и для "xÎ[a,b] существует I(x)=то существует и и

=. Примеры решения задач курс лекций Градиент Интегральное исчисление.

Доказательство. Обозначим через R=[a,b]´ [c,d], [g,h] прямоугольный параллелепипед, содержащий область V и определим на R функцию

f*(M)=. Монотонные последовательности Математический анализ

Тогда

=, Rx= [c,d], [g,h].

Для левого и правого интегралов справедливы равенства

=+=.

==.

Замечание. Сечение Dx = VÇ Lx может быть задано в виде

Dx = {(y,z): y1(x) £ y £ y2(x) , z1(x,y) £ z £ z2(x,y)}.

В этом случае пределы интегрирования в тройном интеграле можно расставить следующим образом (см. рис. ch2_1_32.swf)

==.

D – представляет собой проекцию V на плоскость z=0. Эту область можно также описать в виде D = {(x,y):a £ x £ b, y1(x) £ y £ y2(x)}. Расставляя переменные x,y,z в другом порядке можно получить другие аналогичные формулы представления тройного интеграла через повторные.

  Поверхности второго порядка Классификация поверхностей. Наряду с плоскостью, особое место среди поверхностей занимают поверхности второго порядка. Если F(x,y,z)- многочлен л-ой степени относительно х, у и z , где и - натуральное число (п > 1), то поверхность, заданная уравнением F(jc,_j/,z) = 0 , называется поверхностью 2 порядка. Пример. Плоскость Ах + By + Cz + D = О - поверхность первого порядка. Пример. Общее уравнение поверхности второго порядка имеет следующий вид Ах2 + By2 + Cz7 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + Gx + Hy + Kz + L=0. Здесь ко­эффициенты уравнения А, В, С, D, E и F одновременно не равны нулю. Замечание. Поверхность - более общее понятие, чем график функции двух переменных z = f(x,y), заданной явно. Часто поверхность представляет собой совокупность графиков функций двух переменных, заданных неявно. Уравнение сферы. Напомним, что сфера есть множество точек пространства, равноудаленных от некоторой точки (от центра сферы).

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач