Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Кратные интегралы

Тройные и n-кратные интегралы

Сведение тройного интеграла к повторному для прямоугольного параллелепипеда Тройные и двойные интегралы при решении задач Вычисление объемов

Пусть V – прямоугольный параллелепипед [a,b]´ [c,d] ´ [g,h] и функция f(x,y,z) определена на V. Обозначим прямоугольник [c,d] ´ [g,h] через D.

Теорема. Если существует  и для любого xÎ[a,b] существует , то существует интеграл  и имеет место равенство

=. Примеры решения задач курс лекций Производная по направлению Интегральное исчисление.

(здесь и в дальнейшем используются обозначения= )

Доказательство. Рассмотрим разбиение D области V :

D={a=x0<…<xn=b;c=y0<…<ym=d;g=z0<…<zl=h}.

Полученные подобласти обозначим Vijk=[xi,xi+1]´[yj,yj+1]´[zk,zk+1],i=0,…,n-1,j=0,…,m-1,z=0,…,l-1. Кроме того будем использовать обозначения X=(x,y,z)

mijk=, Mijk=. Для набора промежуточных точек {x i }, x i Î [xi,xi+1] будут выполнены неравенства

mijk Dyj Dzk £ £ Mijk Dyj Dzk,

  mijk Dyj Dzk £ £  Mijk Dyj Dzk,

Домножая последние неравенства на Dxi и суммируя, получим

  mijk Dxi Dyj Dzk £ £  Mijk Dxi Dyj Dzk .

Средняя сумма является интегральной суммой для интеграла , крайние суммы являются суммами Дарбу для интеграла , откуда и следует требуемое равенство.

Аналогичные теоремы можно доказать для других порядков интегрирования. Числовая последовательность Математический анализ Таким образом, при выполнении соответствующих условий получаются равенства вида

=,

=,

=.

В свою очередь внутренние двойные интегралы можно представить в виде повторных. Для первого из написанных соотношений это будет выглядеть следующим образом

=,

=.

(используются обозначения= )

Теперь можно собирать внешние повторные интегралы в двойные, в результате получаться три равенства

=,

=,

=,

Здесь через Dxy , Dzx , Dyz – обозначены прямоугольники [a,b]´ [c,d], [g,h] ´ [a,b], [c,d] ´ [g,h].

  Поверхности второго порядка Классификация поверхностей. Наряду с плоскостью, особое место среди поверхностей занимают поверхности второго порядка. Если F(x,y,z)- многочлен л-ой степени относительно х, у и z , где и - натуральное число (п > 1), то поверхность, заданная уравнением F(jc,_j/,z) = 0 , называется поверхностью 2 порядка. Пример. Плоскость Ах + By + Cz + D = О - поверхность первого порядка. Пример. Общее уравнение поверхности второго порядка имеет следующий вид Ах2 + By2 + Cz7 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + Gx + Hy + Kz + L=0. Здесь ко­эффициенты уравнения А, В, С, D, E и F одновременно не равны нулю. Замечание. Поверхность - более общее понятие, чем график функции двух переменных z = f(x,y), заданной явно. Часто поверхность представляет собой совокупность графиков функций двух переменных, заданных неявно. Уравнение сферы. Напомним, что сфера есть множество точек пространства, равноудаленных от некоторой точки (от центра сферы).

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач