Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Замена переменных в двойном интеграле. Четность функций математика решение задач

Рассмотрим отображение

и его обратное ,

непрерывно дифференцируемое и имеющее отличный от нуля якобиан в области D. Пусть функция f интегрируема в D, тогда

 = . Примеры решения задач курс лекций Экстремум функции нескольких переменных Интегральное исчисление.

Доказательство. Оба интеграла, слева и справа, существуют. Выберем некоторое разбиение области D на подобласти Di и соответствующее ему разбиение области D на множества Di . Тогда

mDi = ==.

Для этих точек (xj,hj ) , (xj,yj ) можно выписать интегральные суммы

.

При переходе к пределу при измельчении разбиения левая и правая части этого равенства будут сходиться к интегралам

  , ,

соответственно. Комплексные числа Модуль и аргумент комплексного числа Показательная форма комплексного числа

  Поверхности второго порядка Классификация поверхностей. Наряду с плоскостью, особое место среди поверхностей занимают поверхности второго порядка. Если F(x,y,z)- многочлен л-ой степени относительно х, у и z , где и - натуральное число (п > 1), то поверхность, заданная уравнением F(jc,_j/,z) = 0 , называется поверхностью 2 порядка. Пример. Плоскость Ах + By + Cz + D = О - поверхность первого порядка. Пример. Общее уравнение поверхности второго порядка имеет следующий вид Ах2 + By2 + Cz7 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + Gx + Hy + Kz + L=0. Здесь ко­эффициенты уравнения А, В, С, D, E и F одновременно не равны нулю. Замечание. Поверхность - более общее понятие, чем график функции двух переменных z = f(x,y), заданной явно. Часто поверхность представляет собой совокупность графиков функций двух переменных, заданных неявно. Уравнение сферы. Напомним, что сфера есть множество точек пространства, равноудаленных от некоторой точки (от центра сферы).

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач