Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Замена переменных в двойном интеграле Изменение площади при отображениях. Монотонность функций математика решение задач

Рассмотрим отображение

  и его обратное

удовлетворяющее условиям предыдущего пункта и разбиение области D линиями, порожденными линиями x=const, h=const плоскости x, h (см. ch1_7_2.swf). Обозначим для краткости x=x(x,h), y=y(x,h), тогда

x(x +Dx ,h)= x +Dx + o(r),  y(x +Dx ,h)= y +Dx + o(r), Примеры решения задач курс лекций Частные производные высших порядков Интегральное исчисление.

x(x ,h +Dh)= x +Dh + o(r),  y(x ,h +Dh)= y +Dh + o(r),

x(x +Dx , h +Dh)= x +Dx +Dh + o(r),

y(x +Dx , h +Dh)= y +Dx +Dh + o(r).

Для вычисления площади фигуры с вершинами

A(x,y), Формула Тейлора для функции нескольких переменных

B(x(x +Dx ,h), y(x +Dx ,h)),

C(x(x +Dx , h +Dh), y(x +Dx , h +Dh)),

E( x(x ,h +Dh), y(x ,h +Dh))

рассмотрим параллелограмм A=A¢, B¢, C¢, E¢ с координатами вершин

A¢=A=(x,y),

B¢=( x +Dx, y +Dx),

C¢=( x +Dx +Dh, y +Dx +Dh),

E¢=( x +Dh, y +Dh) (см. ch1_7_3.swf ).

Этот параллелограмм построен на векторах A¢B¢, A¢C¢,

a=A¢B¢ = ( Dx,Dx), b=A¢C¢ = ( Dh, Dh). Поэтому его площадь равна

½[a,b]½==DxDh.

Вершины A,A¢, B,B¢, C,C¢, E,E¢ отличаются на o(r). Можно показать, что в этом случае площади будут отличаться на o(r2)

m(A¢,B¢,C¢,E¢)=DxDh+ o(r2).

Отсюда, в свою очередь, следует, что площадь области D будет равна

mD== (4).

Докажем последнее равенство для случая, когда область S представляет собой квадрат [a,b]´[a,b] (см. ch1_7_22.swf). Разобьем S на равные части линиями x=xi , h=hj .

В этом случае Dxi=xi+1 - xi = (b - a)/n , Dhj=hj+1 - hj = (b - a)/n , r==(b - a)/n, mD=.

Можно показать, что последнее слагаемое является бесконечно малой при n®¥. откуда и следует равенство (4).

Замечание. Выражение dxdy иногда называют элементом площади в плоскости x,y, а выражение dxdh - элементом площади в плоскости x, h. Равенство (4) позволяет говорить, что модуль якобиана является коэффициентом искажения площади при данном отображении

dxdy = dxdh.

  Поверхности второго порядка Классификация поверхностей. Наряду с плоскостью, особое место среди поверхностей занимают поверхности второго порядка. Если F(x,y,z)- многочлен л-ой степени относительно х, у и z , где и - натуральное число (п > 1), то поверхность, заданная уравнением F(jc,_j/,z) = 0 , называется поверхностью 2 порядка. Пример. Плоскость Ах + By + Cz + D = О - поверхность первого порядка. Пример. Общее уравнение поверхности второго порядка имеет следующий вид Ах2 + By2 + Cz7 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + Gx + Hy + Kz + L=0. Здесь ко­эффициенты уравнения А, В, С, D, E и F одновременно не равны нулю. Замечание. Поверхность - более общее понятие, чем график функции двух переменных z = f(x,y), заданной явно. Часто поверхность представляет собой совокупность графиков функций двух переменных, заданных неявно. Уравнение сферы. Напомним, что сфера есть множество точек пространства, равноудаленных от некоторой точки (от центра сферы).

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач