Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Замена переменных в двойном интеграле

Отображение плоских областей. Криволинейные координаты.

Рассмотрим два экземпляра плоскости, плоскость переменных x, y и область D в этой плоскости, плоскость переменных x, h и область S в этой плоскости (см. ch1_7_1.swf). Пусть имеется взаимно однозначное отображение D на S

 (1),

(2). Примеры решения задач курс лекций Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала Интегральное исчисление.

Будем предполагать, что отображения (1), (2) непрерывно дифференцируемы и якобианы этих отображений

¹0, ¹0. Преобразование графиков функций математика решение задач

Отметим, что

=1.

В области S рассмотрим некоторую кусочно гладкую кривую

tÎ[a,b].

Ее образ имеет параметризацию

tÎ[a,b]

и будет также кусочно гладкой кривой. Действительно,

 (3).

Если (x¢,h¢)¹(0,0), то и (x¢,y¢)¹(0,0). Если предположить противное, то система (3) с не вырожденной матрицей коэффициентов должна будет иметь только тривиальное решение, что противоречит условию (x¢,h¢)¹(0,0). Пределы функций нескольких переменных Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Определение. Кривая, составленная из точек области D вида

  или

называется координатной линией (см. ch1_7_12.swf). Неявное задание этой линии имеет вид h(x,y)=h0 (x(x,y)=x0).

Определение. Числа x0 , h0 из области S плоскости (x , h) определяющие положение точки (x0 ,y0) из области D плоскости (x ,y) называются криволинейными координатами точки (x0 ,y0). Наоборот, на (x0 ,y0) можно смотреть, как на криволинейные координаты точки (x0 , h0).

Фиксируя значения x или h на плоскости (x ,h) можно получить два семейства координатных линий. При сделанных предположениях две линии одного семейства не пересекаются между собой и через любую точку области D проходит по одной линии из каждого семейства (см. ch1_7_13.swf).

  Поверхности второго порядка Классификация поверхностей. Наряду с плоскостью, особое место среди поверхностей занимают поверхности второго порядка. Если F(x,y,z)- многочлен л-ой степени относительно х, у и z , где и - натуральное число (п > 1), то поверхность, заданная уравнением F(jc,_j/,z) = 0 , называется поверхностью 2 порядка. Пример. Плоскость Ах + By + Cz + D = О - поверхность первого порядка. Пример. Общее уравнение поверхности второго порядка имеет следующий вид Ах2 + By2 + Cz7 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + Gx + Hy + Kz + L=0. Здесь ко­эффициенты уравнения А, В, С, D, E и F одновременно не равны нулю. Замечание. Поверхность - более общее понятие, чем график функции двух переменных z = f(x,y), заданной явно. Часто поверхность представляет собой совокупность графиков функций двух переменных, заданных неявно. Уравнение сферы. Напомним, что сфера есть множество точек пространства, равноудаленных от некоторой точки (от центра сферы).

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач