Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Функциональная зависимость систем функций

Необходимые и достаточные условия зависимости функций.

Определение. Пусть функции

определены и дифференцируемы в открытой области D. Одна из этих функций, например, f1 называется функционально зависящей в области D от остальных, если существует дифференцируемая функция Ф :

f1(x) = Ф(f2(x),f3(x),…,fp(x)), " x Î D. Метод простых итераций Приближённое нахождение корней уравнений

Функции y1,…,yp называются функционально зависимыми в области D, если одна из них зависит в D от остальных. В противном случае система называется независимой.

Теорема 1 (необходимое условие зависимости функций). Пусть дана система функционально зависимых в области D функций

.

Тогда в любой точке D ранг rang< n .

Доказательство. Предположим для определенности, что

fn(x) = Ф(f1(x),…,fn-1(x)), " x Î D.

Пространство переменных СДУ в нормальной форме называется фазовым пространством системы. Его структура может быть различной

Решить СОЛДУ 

Тогда по правилу дифференцирования сложных функций

.

Эти равенства означают, что n –я строка матрицы Якоби является линейной комбинацией остальных строк.

Следствие 1. m=0 и система зависимая. Тогда якобиан =0 в области D.

Следствие 2 (достаточное условие функциональной независимости). Пусть rang=n в точке x0 , тогда система независима в D.

Теорема 2 ((достаточное условие функциональной зависимости). Если rang£ r < n в любой точке области D, а в некоторой точке x0 ранг rang= r

¹ 0 . (2)

Тогда

все r функций  являются независимыми в области D,

существует окрестность точки x0, в которой любые из оставшихся функций зависят от выбранных r функций.

  Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач