Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Дифференцируемые отображения

Дифференцируемость. Производные отображения.

Дано отображение y = f(x), x Î Rn , y Î Rp . Это отображение называется непрерывным в точке x0 (будем предполагать, что x0 внутренняя точка области определения и y0=f(x0) ), если для любой окрестности точки U(y0) существует окрестность U(x0) такая, что xÎ U(x0)Þ f(x) Î U(y0). Отображение непрерывное в каждой точке множества называется непрерывным на этом множестве. Можно показать, что непрерывное отображение переводит открытое множество в открытое множество. Обратное тоже верно. Метод простого перебора Приближённое нахождение корней уравнений

Определение. Отображение y = f(x) из DÌRn в D*ÌRp называется дифференцируемым в точке x0 , если в некоторой окрестности точки x0 справедливо равенство

Dfi = +ei r(x,x0), i=1,2,…,p, ei®0 при x®x0 ,

.

Главная линейная часть

L(x,Dx) =

называется дифференциалом отображения f в точке x0 . Иногда L называется производным отображением. Геометрическая интерпритация СДУ в нормальной форме и ее решений

Теорема (достаточные условия дифференцируемости отображения). Пусть отображение y = f(x) из DÌRn в D*ÌRp определяется дифференцируемыми в точке x0 функциями

,

тогда f дифференцируема и .

Утверждение следует непосредственно из определения дифференцируемости.

  Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач