Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Неявные функции

Неявные функции многих переменных.

Определение. Неявная функция, заданная уравнением F(x1,x2,…,xn,y)=0 (или кратко F(x,y)=0) определяется, как функция y=f(x)=f(x1,x2,…,xn) при подстановке которой в уравнение, оно превращается в тождество на некотором множестве

F(x1,x2,…,xn, f(x1,x2,…,xn))=0 , или кратко, F(x,f(x))=0 при xÎD. Ранг матрицы Определение, обозначения и типы матриц

Теорема 2. Пусть

F(x,y) имеет непрерывные частные производные первого порядка в окрестности U(M0) точки M0(x0,y0), x0=

F(M0)=0,

.

Тогда существует окрестность Ud(x0) и единственная функция, определенная в этой окрестности y = f(x), такая, что

" xÎ Ud(x0) : F(x,f(x))=0 и y0 = f(x0). Обратные тригонометрические функции математика решение задач

Эта функция дифференцируема в точке x0 и ее производные определяется по формуле

.

Доказательство. Для определенности будем считать, что . Пусть в Uh(M0) выполнены условия теоремы и , положим d¢ = h/2. Тогда цилиндр B={(x,y):r(x,x0) < d¢,|y - y0|< d¢ } содержится в Uh(M0) так как

r(M,M0)=<.

  Так как в этом цилиндре , то функция F(x0,y) строго возрастает на [y0 - d¢,y0 + d¢]. В центре этого отрезка функция равна нулю, поэтому F(x0, y0 - d¢) < 0 , F(x0, y0 + d¢) > 0. Функции F(x, y0 - d¢) , F(x, y0 + d¢) непрерывны по x и поэтому сохраняют знак в окрестности точки x0 . таким образом, существует d < d¢ " xÎ Ud( x0) : F(x, y0 - d¢) < 0 , F(x, y0 + d¢) > 0 . Тогда для "  Î Ud( x0) функция F(,y) имеет на [y0 - d¢ , y0 + d¢] единственный ноль , F(, ) = 0 (промежуточное значение строго монотонной функции). Функция f : ® , действующая на Ud( x0) является искомой. В силу единственности нуля f(x0) = y0. Построенная функция является функцией неявно заданной уравнение F(x,y)=0 в окрестности Ud( x0). Докажем дифференцируемость этой функции. В окрестности точки M0 справедливо равенство

DF=.

Если в этом равенстве положить Dy=Df=f(x) – f(x0), где x= то DF = 0 и все Dxk=0 кроме одного при k=j

Откуда

. Переходя к пределу при M®M0 получим требуемое равенство.

Замечание. При выполнении условий теоремы построенная функция будет принадлежать классу C1 в некоторой окрестности точки x0 .

  Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач