Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Экстремумы функций многих переменных

Достаточные условия для экстремума.

Лемма. Единичная сфера S=S1(O)={xÎRn:r(x,O)=1} (O=(0,0,…,0)) является замкнутым ограниченным множеством.

Доказательство. Ограниченность очевидна. Замкнутость следует из того, что функция f(x) = r(x0,x) является непрерывной функцией.

Рассмотрим квадратичную форму Нахождение координат вектора в произвольном базисе Векторная алгебра

q(x)= (1),

 

где akj=, xt = x0 + t Dx, Dx = x – x0 , xk = Dxk . Построения на изображениях математика решение задач

Теорема. Если функция f(x) определена в окрестности стационарной точки x0 , имеет там непрерывные частные производные второго порядка, тогда если форма (1) в точке x0

положительно определена, то x0 строгий локальный минимум,

отрицательно определена, то x0 строгий локальный максимум,

знакопеременна, то x0 не является экстремумом

В остальных случаях ничего определенного сказать нельзя.

Доказательство. Для двух точек x0, x положим hk =, тогда h=(h1,…,hn)ÎS1(O) и

f(x) – f(x0) = d 2f(x0)== = =.

В случае 1) q(h)=>r>0, r =  q(h) и поэтому величина f(x) – f(x0) в достаточно малой проколотой окрестности точки x0 будет положительной. Аналогично в случае 2) q(h)=s<0,s =  q(h). В случае 3) $ x¢, x¢¢ : q(x¢ )> 0, q(x¢¢ )< 0 . Рассмотрим xt = x0 + t x¢ , yt = x0 + t x¢¢ , Dx¢ = t x¢ , Dx¢¢ = t x¢¢ , h¢=,h¢¢=. Тогда

f(xt) – f(x0) = ,

f(yt) – f(x0) = .

Это означает, что по направлению xt наблюдается минимум f(xt) – f(x0) > 0 в некоторой проколотой окрестности исходной точки, а в направлении f(yt) – f(x0) < 0, т.е. имеется максимум.

Пример 1. z = x2 + y2 – 12x + 16y на всей плоскости. dz = 2x dx + 2y dy – 12 dx + 16 dy = (2x – 12) dx +2 (y +8) dy. x = 6, y = -4 – стационарная точка. d 2z = 2 dx2 + 2 dy2 – положительно определена. Строгий локальный минимум.

z = sin x2 – arctg y2 , (0,0).

Пример 2. Найти sup, inf функции z = x2 –xy + y2, на множестве |x| + |y| £ 1.

Абсолютный минимум в стационарной начале координат. Максимум равный 1 в вершинах квадрата.

 

  Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач