Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Экстремумы функций многих переменных

Необходимые условия экстремума.

Пусть u=f(x) определена в окрестности точки x0 .

Локальный максимум в точке x0 : Для некоторой окрестности U(x0) выполнено

"xÎU(x0):f(x) £ f(x0).

Строгий локальный максимум в точке x0 : Для некоторой окрестности U(x0) выполнено

"xÎU(x0), x¹x0 : f(x) < f(x0). Векторное произведение Векторная алгебра

Аналогично определяются минимумы. Локальным экстремумом называется локальный минимум или локальный максимум.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция f(x) определена в окрестности точки x0 , имеет в этой точке частные производные первого порядка и x0 экстремум, то все частные производные равны нулю в этой точке.

Доказательство. Теорема Ферма по каждой переменной в отдельности. Конические сечения математика решение задач

Определение. Точка, в которой все частные производные первого порядка равны нулю, называется стационарной точкой функции.

Замечание 1. Стационарность точки x0 эквивалентна условию df(x0)=0.

Замечание 2. Глобальные максимумы или глобальные минимумы функции надо искать среди

стационарных точек,

точек, где не существуют частные производные первого порядка,

граничных точек.

 

Замечание 3. Равенство частных производных нулю не является достаточным для наличия экстремума.

Пример: z = xy, (0,0).

 

  Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач