Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Формула Тейлора для функций многих переменных

Пусть u = f(x) на D , x0 - внутренняя точка D . Если f имеет в U(x0) производные (m+1)-го порядка, то в этой окрестности

f(x) = , (1) Проекции вектора Векторная алгебра

где xq = x0 + q Dx, Dx = x – x0 .

* Доказательство. Пусть x Î U(x0), x t = x0 + t Dx , F(t) = f(x0 + t Dx) . Функция F(t) будет (m+1)- раз дифференцируема на (-d, 1+d) . Кроме того при линейной замене имеет место свойство инвариантности дифференциалов высших порядков

dF(0) = df(x0),…, d kF(q) = d kf(xq ) .

Равенство (1) будет следовать из разложения по формуле Тейлора функции F(t) Поверхности второго порядка математика решение задач

F(t)=

Теорема. Если f(x) имеет в окрестности точки x0 (n=2) частные производные (m+1)-го порядка, непрерывные в самой точке x0 , то при x®x0

f(x) = +o(rm(x,x0)) (2)

Доказательство. Как мы видели, в некоторой окрестности x0

f(x) = ,

xq = x0 + q Dx, Dx = x – x0 . Имеем

, |Dxk|£ r(x,x0). Откуда

£ Crm+1=o(rm).

Замечание. Отметим, что

.

Поэтому

d mf(x0) = =  (3)

Подставляя (3) в (1) получим вид разложения по формуле Тейлора в более развернутом виде

f(x) = +o(rm), (4)

Можно показать, что представление (4) в некотором смысле единственно. Именно, если при x® x0 имеет место

f(x) = +o(rm),

то коэффициенты aa определяются единственным образом, а именно, имеют тоже выражение, что и в (4). В последней формуле использованы следующие обозначения: a - мультииндекс, a=(a1,…,an), aa = , |a|=a1+…+an , a! = a1!…an! , =, .

Пример. Разложить в окрестности точки (1,1) функцию u=ex+y до m-го порядка.

d ku = ex+y(dx+dy)k=ex+y, ex+y = +o(rm).

Это же разложение можно получить из формулы

ev=.

 

  Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач