Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Геометрический смысл дифференциала.

df = A (x – x0 ) + B(y – y0)

есть приращение аппликаты на касательной плоскости, см. рис. ch5_4_2.swf.

3.Различные способы задания поверхностей.

Поверхность – это отображение вида j : R2 ® R3 . Непрерывность функций и точки разрыва

Явное задание

z = f(x,y), (x,y) Î D.

Параметрическое задание

, w = j(t), wÎR3, tÎR2. Абсолютный экстремум ФНП

Пусть все три функции, определяющие эту поверхность (отображение j ) из класса C1 (класс непрерывно дифференцируемых функций ). Матрица Якоби отображения j определяется следующим образом

 , (u,v)Î D . Обозначим ее миноры второго порядка F23 , F31 , F12 .

, , .

Предположим, что вектор n = (F23 , F31 , F12) ¹ 0 в точке P0(x0,y0). Можно показать, что в этом случае в точке M0(x0,y0,z0) где x0 = x(P0), y0 = y(P0), z0 = z(P0), существует касательная плоскость к поверхности, имеющая нормалью вектор n . Таким образом, уравнение касательной плоскости имеет вид

F23(x – x0) + F31(y – y0) + F12(z – z0) = 0.

Неявное задание

F(x,y,z) = 0.

Уравнение касательной плоскости в точке M0(x0,y0,z0) имеет вид

.

 

 

  Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач