Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Дифференцируемые функции многих переменных

Гладкие поверхности Касательная и нормаль в поверхности.

Пусть f(x) определена на множестве D и M0=(x0,y0) внутренняя точка области D. Рассмотрим поверхность Ф, определяемую графиком функции z=f(x,y) на D. Введем следующие обозначения P=(x,y, f(x.y)) =(M, f(M)), M=(x,y), 

P0=(x0, y0, z0) =(x0,y0, f(x0,y0))= ( M0, f(M0)), M0= (x0, y0 ). Математика лекции примеры решения задач

Плоскость

Z – z0 = A(x – x0) +B(y – y0) (a ),

проходящая через точку P0 называется касательной плоскостью к поверхности Ф, если разность между аппликатой точки P=(x,y, f(x.y)) и точки Q(x,y,z)Î(a ) есть o(r) при r®0 (r = r(M,M0)).

f(x,y) – [z0 + A(x – x0) +B(y – y0)]=o(r(M,M0)) (1) Диффенцирование неявно заданной функции

Теорема. Для существования касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) необходимо и достаточно дифференцируемости функции f в точке M0. Причем коэффициенты A, B ( координаты нормального вектора) равны

.

Доказательство следует из определения дифференцируемости.

Замечание. Касательная плоскость, если она существует, определяется единственным образом.

Вектора  называются единичными нормалями к поверхности в заданной точке.

Определение. Поверхность z = f(x,y) , (x,y)ÎD называется гладкой, если функция f(x,y) непрерывно дифференцируема на D, т.е. имеет там непрерывные частные производные. Геометрически это означает непрерывное изменение касательной плоскости или вектора нормали при перемещении по поверхности.

  Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач