Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Дифференцируемые функции многих переменных

Производная по заданному направлению Градиент. Комбинаторика Математика лекции примеры решения задач

Пусть u = f(x,y,z) , M0(x0,y0,z0)Î D. градиент функции f в точке M0 определяется по формуле grad f = .

Пусть l единичный вектор ||l ||=1, l =i cos a + j cos b + k cos g , обозначим

M t = (x0 + t cos a , y0 + t cos b , z0 + t cos g )=M0 + t l .

Производной по направлению вектора l называется предел

.

Теорема. Если функция f дифференцируема в точке M0 , то

Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.

Доказательство. r(Mt,M0)=t, (t > 0 ). f(M t) – f(M 0) = . Далее по определению производной по направлению получается требуемое неравенство

==

=

Из последнего неравенства следует, что у дифференцируемой функции существует производная по любому направлению.

Задача. Для заданной функции f(x) в точке x0 найти направление, в направлении которого функция f(x) имеет максимальный рост (максимальное убывание).

Решение. Так как l) то искомое направление определяется вектором l = .

  Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач