Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Дифференцируемые функции многих переменных

Дифференцируемость, частные производные функции многих переменных

Геометрическая интерпретация частных производных.

См. рис. ch5_2_2.swf.

3.Приращение функции. Дифференциал. Возрастание и убывание функции Исследование функций и построение графиков

Некоторые обозначения Df = f(x) – f(x0) , Dxk = xk – xk0 , Dx=( x1 – x10, x2 – x20,…, xn – xn0), аналогичное обозначение для Dy .

Определение. Функция f(x) дифференцируема в точке в точке x0 , если ее приращение представимо в виде

Df = (A,Dx)+o(r),

где (A,Dx)=, r=r(x,x0), o(r)=e(x,Dx)r(x,x0), e(x,Dx)=.

Линейная функция (A,Dx) называется дифференциалом и обозначается

df(x0) =(A,Dx)= A1Dx1 +…+ AnDxn .

Замечание. В определении дифференциала o(r)=er можно записывать в виде

a1Dx1+a2Dx2+…+anDxn=(a , Dx), a - бесконечно малый вектор.

Действительно, имеем er=(e /r)r2=, и обратно, .

Теорема (необходимое условие дифференцируемости). Всякая дифференцируемая в точке x0 функция непрерывна в этой точке.

Следует непосредственно из определения дифференцируемости.

Теорема. Если f(x) дифференцируема в точке x0 и df=, то в этой точке существуют все .

Следует непосредственно из определения дифференцируемости.

Следствие. Дифференциал (коэффициенты Ak ) определяется однозначно.

Вычислить момент инерции относительно плоскости дуги

Вычислить повторный интеграл

Теорема (достаточные условия дифференцируемости). Если f имеет частные производные в некоторой окрестности точки M0 , непрерывные в самой точке, то f дифференцируема в этой точке.

Доказательство (для случая n = 2). Df = f(x,y) – f(x0,y) + f(x0,y) – f(x0,y0)=+= +aDx+bDy ,

где a , b - бесконечно малые функции.

Пример функции, имеющей частные производные в точке, но не дифференцируемой в точке

f(x,y) = .

Отметим, что |f(x,y)|£|y| Þ непрерывна всюду. , . Если бы она была дифференцируема, то Df = o(r) Þ , или .

При x=y получим .

  Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач