Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Дифференцируемые функции многих переменных

Дифференцируемость, частные производные функции многих переменных

Определение частной производной.

Рассмотрим функцию двух переменных z = f(x,y) на D, M0=(x0,y0) – внутренняя точка. Фиксируем y0 , определяем функцию одного переменного F(x) = f(x,y0) . Если у этой функции одного переменного существует производная в точке x0 , то она называется частной производной и обозначается

 . Асимптоты графика функции Исследование функций и построение графиков

Обозначения для частной производной: ,fx¢ , f1¢ . Аналогично определяется .

Общий случай. f(M) = f(x1,x2,…,xn) определена в окрестности точки x0. Тогда частная производная по первой переменной определяется следующим образом

,…,

.

Замечание. Так как определение частных производных сводится к понятию обычной производной, то справедливы свойства, аналогичные свойствам производных для функции одного переменного. В частности, формулы для производных суммы, произведения и частного двух функций.

Длина дуги в декартовых координатах

Механические приложения Вычислить массу дуги

  Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач