Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Равномерная непрерывность функции многих переменных

Терема Кантора

Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на множестве D, если выполнено условие Коши:

" e > 0 $ d > 0 " x¢,x¢¢Î D, r( x¢,x¢¢ ) < d : |f(x¢¢) – f(x¢)| < e .

Замечание. Если функция равномерно непрерывна на множестве D , то она непрерывна на этом множестве.

Теорема (Кантор). Непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна там. Исследование функций и построение графиков

Доказательство. От противного.

$ e0 > 0 " d > 0 $ x,yÎ D, r( x,y ) < d : |f(x) – f(y)| ³ e0 .

В качестве d брать последовательность 1/k. В результате получим две последовательности {xk}, {yk}: r( xk,yk ) < 1/k : |f(xk) – f(yk)| ³ e0 . Последовательность {xk} – ограничена, так как D компакт, поэтому из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выбрать сходящуюся подпоследовательность {}® x0. Из условия r( , ) < 1/km следует, что последовательность {}® x0 (неравенство треугольника r( x0, )£ r( x0, )+ r( , )). Из непрерывности функции следует, что f()® f(x0) , f()® f(y0) , откуда | f() - f()|® 0 , что противоречит неравенству |f() – f()| ³ e0 .

Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом .

Вычисление криволинейных интегралов первого рода

  Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач