Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Функции многих переменных

Предел функции

Определение. Пусть D – некоторое множество точек пространства Rn. Если для "xÎD сопоставлено единственное число uÎR, то говорят, что задана функция, определенная на множестве D. При этом пишут

u=f(x)=f(x1,x2,…,xn),

D  называется областью определения функции f. Пределы

Определение. Пусть f определена на DÌ Rn, и x0 – предельная точка множества D. Число A называется пределом функции f при x® x0 , если

"e>0$d>0"xÎDÇ :|f(x)-A|<e.

Пишут .

Если предел существует, то он единственен. Записать уравнение касательной плоскости к поверхности в точке .

Аналогично тому, как для функции одного переменного определяются пределы с участием символов ¥.

,

Примеры. ;"N$d>0"xÎD,0<r(x,x0)<d:|f(x)|>N.

;"e>0$r"xÎD,r(x,q)>r:|f(x)-A|<e, q=(0,0,…,0).

 

Определение предела по Гейне. . Для любой последовательности типа Гейне (x®a) {xk}:. В этом определении a может быть точкой или символом ¥ , A –может быть числом или символами ¥, +¥, -¥. Последовательность типа Гейне определяется, как последовательность, удовлетворяющая условиям: 1)  2) xk ¹ a, 3) xkÎ D.

Можно показать, что определение по Гейне и по Коши эквивалентны.

  Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач