Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

n – мерное евклидово пространство Основные определения

Неравенство Коши-Буняковского Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления Непрерывность функций и точки разрыва

.

Величина  - называется скалярным произведением и обозначается (x,y). Величина  называется нормой и обозначается ||x||.

Используя это обозначение неравенство Коши-Буняковского можно записать в виде. Понятие предела функции многих переменных (сокр. ФНП) вводится в предельной точке области определения функции.

|(x,y)|£||x|| ||y||.

В пространстве R2 введем операции сложения между элементами этого множества и операцию умножения на вещественные числа по правилам:

x + y =(x1+ y1,x2+ y2,…,xn+ yn),

l x = (lx1, lx2,…, lxn), где x = (x1,x2,…,xn), y = (y1,y2,…,yn). (2)

Доказательство неравенства Коши-Буняковского.

0 £ ||x+ly||2==

||x||2+2l(x,y)+l2||y||2=al2+2lb+c.

Так как это неравенство (al2+2lb+c ³ 0) справедливо для всех l , то для дискриминанта квадратного трехчлена будет выполнено неравенство b2 – ac £ 0, или (x,y)2£ ||y||2 ||x||2, откуда и следует требуемое утверждение.

Теорема. Для нормы справедливо неравенство ||x+y|| £ ||x|| + ||y||.

Доказательство.||x+y||2 = £

£ ||x||2+2 ||x|| ||y||+ ||y||2=(||x||+||y||)2.

Свойства нормы.

||x||³0, ||x||=0Û x=0 (x= (0,0,…,0))

||lx|| = |l| ||x||

||x+y||£ ||x||+||y||.

Свойства скалярного произведения.

(x,x)³0, (x,x)=0Û x=0 (x= (0,0,…,0))

(x,y)=(y,x)

(lx,y)=l(x,y)

(x+y,z)=(x,z)+(y,z).

Определение. Пространство Rn со скалярным произведением (x,y) будем называть евклидовым пространством.

Отметим, что между введенными понятиями, расстоянием, нормой и скалярным произведением имеются следующие равенства: r(x,y)=||x - y||, (x,x)=||x||2.

Доказательство неравенства треугольника для расстояния. r(x,y)=||x-y||=||x-z+z-y||£||x-z||+||z-y||=r(x,z)+ r(z,y).

  Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач