Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Несобственные интегралы

Свойства несобственных интегралов.

Формула замены переменного Лекции матан Математика лекции примеры решения задач

Пусть f(x) непрерывна на [a,b) (b - число или символ +¥), j(t) – непрерывно-дифференцируема и строго монотонно возрастает на [a,b), a < b £ ¥, причем a = j(a), , тогда

.

Доказательство. В силу строгой монотонности функции j(t) для "RÎ[a,b)$r:j(r)=R. Далее следует перейти к пределу в равенстве

, (r®b, R®b). Примеры задач типовых расчетов по Кузнецову Графики функции Построить графики функций с помощью производной первого порядка.

Замечание 1. В формуле замены переменной функция j может быть строго монотонно убывающей. Тогда в формулировке теоремы появятся соответствующие изменения j(b)=a, , .

Замечание 2. Формула замены переменного справедлива и без условия монотонности функции j.

Замечание 3. Несобственный интеграл I – рода может быть подходящей заменой сведен к несобственному интегралу II – рода и наоборот.

Пример. .

При таких заменах вновь полученный интеграл может оказаться собственным.

Пример. .

  Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач