header ("Last-Modified: ".gmdate("D, d M Y H:i:s")." GMT +0200"); ?>
Несобственные интегралы
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Простейшие признаки сходимости. Правило Лопиталя Математика лекции примеры решения задач
Теорема
(Критерий Коши). Для сходимости интеграла
необходимо и достаточно, чтобы "e>0$M"R¢,R¢¢:
<e.
Эта
теорема непосредственно следует из критерия Коши существования конечного предела
("e>0$M"R¢,R¢¢ >M:|F(R¢¢)-F(R¢)|<e).
Теорема 1 (Простой признак сравнения для несобственного интеграла от неотрицательных функций). Если 0£ f(x) £ g(x) , то
сходится
Þ сходится
расходится
Þ расходится
Доказательство. Утверждение непосредственно следует из соотношений Теорема о достаточных условиях дифференцируемости ФНП в точке
.
Следствие 1. Если f(x)³ 0, g(x)³ 0 и f(x)=O(g(x)), x®¥, то
сходится
Þ сходится
расходится
Þ расходится
.
Следствие
2 (Предельный признак сравнения). Если f(x)³ 0, g(x)> 0 ,,
то
если 0<k<+¥, то поведение интегралов ,
в смысле сходимости эквивалентно.
если
k=0, то сходимость Þ сходимость
.
если
k=¥, то расходимость Þ расходимость
.
Доказательство. По определению предела для заданного e для достаточно больших x будут выполнены неравенства
или
(1)
В первом случае утверждение следует из доказанной теоремы и неравенств (1), если взять e=k/2. В случае k=0 следует рассмотреть правое неравенство из (1) для какого-нибудь e, например, e=1.
Теорема 2.
Если 0 £ f(x)£ для всех x, 0 < a £ x <+¥ , где c > 0
, p > 1 , то интеграл
сходится.
Если f(x)³ для x,
0 < a £ x <+¥ и c > 0, p£ 1 , то интеграл
расходится.
Утверждение следует из простого признака сравнения.
Теорема
3 ( Второй предельный признак сравнения). Если существует , (0 < k < +¥), то
при
p > 1 интеграл сходится,
при
p £ 1 интеграл расходится.
При k = 0 и p > 1 интеграл сходится, при k = +¥, p £ 1 интеграл расходится.
Утверждение теоремы следует из первого предельного признака сравнения.
Замечание.
Аналогичные утверждения (Теоремы 1-3 и следствия имеют место для интегралов вида
.
Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых переменных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz
Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач
|