Несобственные интегралы

Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Простейшие признаки сходимости. Правило Лопиталя Математика лекции примеры решения задач

Теорема (Критерий Коши). Для сходимости интеграла   необходимо и достаточно, чтобы "e>0$M"R¢,R¢¢:<e.

Эта теорема непосредственно следует из критерия Коши существования конечного предела  ("e>0$M"R¢,R¢¢ >M:|F(R¢¢)-F(R¢)|<e).

Теорема 1 (Простой признак сравнения для несобственного интеграла от неотрицательных функций). Если 0£ f(x) £ g(x) , то

сходится Þ сходится

расходится Þ расходится

Доказательство. Утверждение непосредственно следует из соотношений Теорема о достаточных условиях дифференцируемости ФНП в точке

.

Следствие 1. Если f(x)³ 0, g(x)³ 0 и f(x)=O(g(x)), x®¥, то

сходится Þ сходится

расходится Þ расходится .

Следствие 2 (Предельный признак сравнения). Если f(x)³ 0, g(x)> 0 ,, то

если 0<k<+¥, то поведение интегралов , в смысле сходимости эквивалентно.

если k=0, то сходимость Þ сходимость .

если k=¥, то расходимость Þ расходимость .

Доказательство. По определению предела для заданного e для достаточно больших x будут выполнены неравенства

 или

 (1)

В первом случае утверждение следует из доказанной теоремы и неравенств (1), если взять e=k/2. В случае k=0 следует рассмотреть правое неравенство из (1) для какого-нибудь e, например, e=1.

Теорема 2.

Если 0 £ f(x)£ для всех x, 0 < a £ x <+¥ , где c > 0 , p > 1 , то интеграл сходится.

Если f(x)³ для x, 0 < a £ x <+¥ и c > 0, p£ 1 , то интеграл расходится.

Утверждение следует из простого признака сравнения.

Теорема 3 ( Второй предельный признак сравнения). Если существует , (0 < k < +¥), то

при p > 1 интеграл  сходится,

при p £ 1 интеграл расходится.

При k = 0 и p > 1 интеграл сходится, при k = +¥, p £ 1 интеграл расходится.

Утверждение теоремы следует из первого предельного признака сравнения.

Замечание. Аналогичные утверждения (Теоремы 1-3 и следствия имеют место для интегралов вида .

  Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач