Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Несобственные интегралы

Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Простейшие признаки сходимости. Правило Лопиталя Математика лекции примеры решения задач

Теорема (Критерий Коши). Для сходимости интеграла   необходимо и достаточно, чтобы "e>0$M"R¢,R¢¢:<e.

Эта теорема непосредственно следует из критерия Коши существования конечного предела  ("e>0$M"R¢,R¢¢ >M:|F(R¢¢)-F(R¢)|<e).

Теорема 1 (Простой признак сравнения для несобственного интеграла от неотрицательных функций). Если 0£ f(x) £ g(x) , то

сходится Þ сходится

расходится Þ расходится

Доказательство. Утверждение непосредственно следует из соотношений Теорема о достаточных условиях дифференцируемости ФНП в точке

.

Следствие 1. Если f(x)³ 0, g(x)³ 0 и f(x)=O(g(x)), x®¥, то

сходится Þ сходится

расходится Þ расходится .

Следствие 2 (Предельный признак сравнения). Если f(x)³ 0, g(x)> 0 ,, то

если 0<k<+¥, то поведение интегралов , в смысле сходимости эквивалентно.

если k=0, то сходимость Þ сходимость .

если k=¥, то расходимость Þ расходимость .

Доказательство. По определению предела для заданного e для достаточно больших x будут выполнены неравенства

 или

 (1)

В первом случае утверждение следует из доказанной теоремы и неравенств (1), если взять e=k/2. В случае k=0 следует рассмотреть правое неравенство из (1) для какого-нибудь e, например, e=1.

Теорема 2.

Если 0 £ f(x)£ для всех x, 0 < a £ x <+¥ , где c > 0 , p > 1 , то интеграл сходится.

Если f(x)³ для x, 0 < a £ x <+¥ и c > 0, p£ 1 , то интеграл расходится.

Утверждение следует из простого признака сравнения.

Теорема 3 ( Второй предельный признак сравнения). Если существует , (0 < k < +¥), то

при p > 1 интеграл  сходится,

при p £ 1 интеграл расходится.

При k = 0 и p > 1 интеграл сходится, при k = +¥, p £ 1 интеграл расходится.

Утверждение теоремы следует из первого предельного признака сравнения.

Замечание. Аналогичные утверждения (Теоремы 1-3 и следствия имеют место для интегралов вида .

  Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач