Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Несобственные интегралы

Несобственный интеграл первого рода

1.Определение интеграла по бесконечному промежутку. Дифференциалы высших порядков ФНП Пусть в области , , задана произвольная ФНП , , имеющая непрерывные частные производные первого порядка.

Пусть функция f(x) определена на [a,¥) и интегрируема на любом [a,R].

Символ  называется несобственным интегралом второго рода. Интеграл сходится, если существует конечный предел

=.

В противном случае он называется расходящимся. Элементы теории кривых Математика лекции примеры решения задач

Если a<b , то интегралы ,  сходятся или расходятся одновременно. Это следует из свойства аддитивности интеграла по множеству

=+. Аналогично определяется интеграл

=.

Если f(x) определена и интегрируема на любом [a,b] и существуют интегралы ,  , то величина+не зависит от выбора c.

При выполнении этих условий определяется интеграл

=+,

где c некоторое число.

Замечание. Из указанных свойств несобственного интеграла следует свойство аддитивности интеграла по множеству.

Пусть по прежнему f(x) определена и интегрируема на любом [a,b]. Главным значением интеграла по Коши называется величина

V.P. =.

Теорема. Если существует , то V.P. =.

Обратное неверно. Пример. V.P.=0, в то время, как интеграл  расходится.

Пример. Интеграл сходится при p>1, расходится в противном случае.

  Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач