Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Вычисление объемов и площадей боковых поверхностей тел вращения

Первая теорема Гюльдена. Вычислить предел Математика лекции примеры решения задач

Предположим, что масса mk расположена на расстоянии yk от оси ox. Статический момент материальной точки массы m относительно оси ox равен yk mk . Статические моменты системы из n точек относительно осей ox, oy равны

Mx=, My= 

Центр тяжести системы – это точка, обладающая следующим свойством: если в эту точку поместить сосредоточенную массу системы, то статический момент этой точки относительно любой оси совпадает со статическим моментом всей системы относительно этой оси. В частности, выпишем равенство статических моментов дискретной системы относительно осей ox, oy.

XM=,YM=, M=

X=, Y= (3) Теорема о существовании всех частных производных ФНП

Если масса распределена вдоль кривой g :x=x(s),y=y(s), параметризованной длиной дуги и имеющей линейную плотность распределения r(s), то соотношения (3) для координат центра тяжести примут интегральный вид

, Y=  (4)

Если положить r(s)=1, то из равенства соотношения получим

2pYl=2p=m(g).

Последнее соотношение означает, что площадь поверхности, полученной вращением кривой вокруг оси с равномерно распределенной массой, равна длине этой кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести этой кривой (первая теорема Гюльдена).

Пример. Пересчитать площадь поверхности тора по теореме Гюльдена.

 

  Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач