Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Вычисление объемов и площадей боковых поверхностей тел вращения

Объем.

Понятие объема вводится аналогично тому, как это делалось для площади, поэтому похожие моменты а этом параграфе будут излагаться конспективно. Известным считается понятие объема элементарной области, т.е. для области, ограниченной многогранником ( сводится к объему тетраэдра, не обязательно правильного). Объединение конечного числа непересекающихся областей такого типа также будет называться многогранником. Далее рассматривается класс пространственных областей, которые ограничены ( содержаться в некотором шаре ) и для которых существует хотя бы один вписанный многогранник. Вписанные многогранники будем обозначать индексом i,Pi описанные Pe . Объем обозначается mP. Объем обладает свойством монотонности, таким образом, всегда mPi £ mPe Криволинейные интегралы Математика лекции примеры решения задач .

Нижний объем: mD = sup mPi , по всевозможным вписанным многогранникам.

Верхний объем:= inf mPe .

Лемма. mD £ .

Определение. Область называется кубируемой, если = mD. Эта общая величина называется объемом и обозначается mD. Связь математической статистики с теорией вероятности

Теорема (Критерий кубируемости). Для того, чтобы область D была кубируемой Н. и Д., чтобы "e>0$ Pe , Pi : mPe - mPi <e .

Теорема (Второй критерий кубируемости). Для того, чтобы область D была кубируемой Н. и Д., чтобы "e>0$ кубируемые Pe , Pi (не обязательно многогранники) : mPe - mPi <e .

Для объема справедливы свойства монотонности, аддитивности.

Пример. Цилиндр является кубируемым телом, если в его основании лежит квадрируемая фигура и его объем равен Sh (смю рис. 2_11_11.swf). Это следует из критерия кубируемости. В качестве вписанных и описанных многогранников выбираются призмы с той же образующей, что и у цилиндра, в основании которых лежат вписанные и описанные многоугольники фигуры, лежащей в основании цилиндра.

В частности кубируемым будет ступенчатое тело (см. рис. 2_11_12.swf), если в основании каждой составляющей лежит квадрируемая фигура.

  Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач