Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

 Интегральное исчисление

Два основных метода интегрирования

Замена переменного

Если F(x)– первообразная для f(x) на X т.е. =F(x)+C , x=j(t) дифференцируема на T и определена суперпозиция = F(j(t))+C, тогда функция F(t)=f(j(t))j¢(t) имеет первообразную, равную F(j(t)). Таким образом,

=. Примеры решения задач курс лекций Свойства эволюты

Для доказательства достаточно продифференцировать левую и правую части и убедиться, что получится одна и та же функция.

Примеры:

 cos t dt =  d sin t = + C, x = sin t. Курсовые задания Математика лекции примеры решения задач

J = , сделаем замену x = t6, тогда

J=6=6=6t – 6 arctg t + C =6-6 arctg +C

Интегрирование по частям

Если u(x), v(x) – дифференцируемы на отрезке X и существует

dv = (x)v¢(x)dx. Тогда существует du и выполняется равенство

du = uv - dv (формула интегрирования по частям)

  Доказательство. Пусть dv = F(x)+C. Тогда функция uv – F будет искомой, что можно проверить дифференцированием.

Пример. Выберем функции: v(x) = ln x, u(x) = x, тогда

x dx =x ln x - =x ln x – x + C.

Математика лекции и примеры решения задач Числовые ряды Примеры вычисления интегралов

Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач