Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Площадь плоской области

Вычисление площадей областей, граница которых задана в полярных координатах. Элементы теории поля Математика лекции примеры решения задач

Предполагаем, что доказана квадрируемость кругового сектора радиуса r , заключенного между двумя лучами ( с углами a, b) и известно, что его площадь равна . Рассмотрим более общий случай области, заключенной между этими лучами и непрерывной кривой, заданной в полярных координатах r=r(j) (см. рис. 2_10_41.swf).

Теорема. Криволинейный сектор, определяемый лучами углов a, b и непрерывной кривой r=r(j) квадрируем и его площадь вычисляется по формуле Численное интегрирование функций Хорошо известны многочисленные примеры задач из различных отраслей механики, геометрии, физики, и т.д., которые приводят к необходимости вычисления определенных интегралов функции одной переменной на некотором отрезке.

mD=. (3)

Доказательство. Интеграл справа в (3) существует, поэтому для заданного e существует разбиение D={a=j0<j1<…<jn=b} такое, что S(f,D) – s(f,D) < e. Здесь f(j)=. Нижняя сумма Дарбу представляет собой сумму величин вида , где mk – радиус некоторого кругового сектора, вписанного в соответствующий криволинейный сектор (см. рис. 2_10_42.swf). Таким образом, для любого e можно указать две квадрируемые области, одна из которых содержится внутри исходной области, а вторая охватывает эту область. Каждая из этих областей составлена из круговых сегментов и имеет площадь равную s(f,D), S(f,D), соответственно. Квадрируемость следует из сделанного второго критерия квадрируемости. Формула для площади получается также, как и при доказательстве квадрируемости криволинейной трапеции.

  Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач