Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Площадь плоской области

Площадь криволинейной трапеции. Интегралы, зависящие от параметра Математика лекции примеры решения задач

Пусть f(x)³0 и непрерывна на отрезке [a,b]. Область расположенную между графиком функции , осью x и вертикалями x = a, x = b называется криволинейной трапецией (см. рис. 2_10_31.swf).

Теорема. Криволинейная трапеция D квадрируема и ее площадь

.

Доказательство. Пусть e>0. В силу интегрируемости f(x) для этого e существует разбиение отрезка [a,b], D={a=x0<x1<…<xn} такое, что S(f,D) – s(f,D) < e (см. рис. 2_10_32.swf). Прямоугольники, соответствующие нижней сумме Дарбу образуют вписанный в область D многоугольник Pi , прямоугольники, соответствующие верхней сумме Дарбу образуют описанный многоугольник Pe для области D, s(f,D) = m Pi , S(f,D)= m Pe . Отсюда следует квадрируемость области D и требуемое равенство.

Замечание. Если f(x)£ 0 и непрерывна на отрезке [a,b], то . Для области D, заключенной между двумя непрерывными кривыми (графиками функций) y=f1(x), y=f2(x), f1(x)£f2(x) на [a,b],  (см. рис. 2_10_33.swf). В более общих случаях для вычисления площади следует разбить область на фигуры указанного вида. Численное интегрирование функций Хорошо известны многочисленные примеры задач из различных отраслей механики, геометрии, физики, и т.д., которые приводят к необходимости вычисления определенных интегралов функции одной переменной на некотором отрезке.

  Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач