Площадь плоской области

Квадрируемые фигуры.

Многоугольником P в этом параграфе называется внутренняя часть области, ограниченной замкнутой не самопересекающейся ломаной L. Для простоты формулировок, объединение конечного числа многоугольников будет также называться многоугольником (см рис. 2_10_0.swf). Сама ломанная L (или ломанные) называется границей многоугольника P и обозначается ¶P. Многоугольник плюс граница обозначается =P+¶P. Будем предполагать известным понятие площади для многоугольников. Под областью в этом параграфе будем понимать ограниченное множество, для которого существует хотя бы один вписанный многоугольник. Можно ограничиться множествами, определяемыми некоторой одной или несколькими замкнутыми кривыми, ограничивающими это множество.

Определение. Индексом i будем обозначать многоугольники, вписанные в заданную область D, Pi Ì DȶD (¶D – кривая, ограничивающая область D ). Индексом e будем обозначать описанные многоугольники, Pe É DȶD. Площадь многоугольника P будем обозначать через mP. Кратные интегралы Математика лекции примеры решения задач

Для площади известно свойство монотонности: если PÌQ, то mP £ mQ.

Определение. Нижней площадью области D назовем величину

mD = sup mPi , по всевозможным вписанным многоугольникам.

Верхней площадью области D назовем величину= inf mPe , по всевозможным описанным многоугольникам.

Здесь мы будем рассматривать лишь ограниченные области, для которых множество вписанных многоугольников не пусто.

Лемма. mD £ . Примеры задач типовых расчетов по Кузнецову Векторный анализ Найти производную скалярного поля в точке по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси .

Доказательство. От противного. Пусть £ mD (см. рис. 2_10_1.swf ). Выбираем непересекающиеся окрестности чисел , mD . По определению нижней и верхней площадей найдутся два многоугольника Pi , Pe , один с площадью mPe из выбранной окрестности числа , другой из окрестности числа mD . Согласно выбору окрестностей mPe < mPi , что противоречит свойству монотонности площадей для многоугольников.

Определение. Плоская фигура называется квадрируемой, если = mD. Эта общая величина называется площадью.

Теорема (критерий квадрируемости). Для того, чтобы плоская фигура D была квадрируемой Н. и Д., чтобы "e>0$ Pe , Pi : mPe - mPi <e .

Доказательство. Для любых Pe , Pi из доказанной леммы и из определений нижней и верхней площадей следуют неравенства

mPi £ mD £ £ mPe ,

откуда и следует требуемое утверждение.

Определение. Множество D имеет площадь 0, если его можно покрыть многоугольниками со сколь угодно малой суммарной площадью.

Если область D определена ограничивающей ее замкнутой кривой ¶D, то для квадрируемости D необходимо и достаточно, чтобы ее граница имела площадь = 0.

  Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач