Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Методы вычисления определенных интегралов

 Замена переменных в определенном интеграле Последовательности Математика лекции примеры решения задач

Теорема 1. Пусть f(x) непрерывна на [a,b], j(t) непрерывна вместе с производной на [a,b], причем j(t)Î[a,b], если tÎ[a,b], j(a)=a, j(b)=b. Тогда

dx = j¢(t) dt (2) Примеры решения задач курс лекций Эллипс Уравнения некоторых типов кривых в параметрической форме

Формула (2) называется формулой замены переменного в определенном интеграле.

Доказательство. Оба интеграла в (2) существуют. Пусть F(x) первообразная функции f(x) , тогда F(j(t)) существует и является первообразной функции f(j(t))j¢(t). По формуле Ньютона-Лейбница

dx = F(b) – F(a), j¢(t) dt = F(j(b)) – F(j(a)) = F(b) – F(a).

Замечание. Формула (2) иногда записывается в виде

dx = dj (t).

2.Интегрирование по частям.

Теорема 2. Если функции u(x), v(x) непрерывны вместе со своими производными на [a,b], то

dx =  - dx (3)

Доказательство.

= dx = dx = dv + du.

  Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач