Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Определенный интеграл

Суммы Дарбу и их свойства

Определения.

Пусть функция f(x) определена на [a,b] и D={a=x0< x1<…< xn=b} разбиение отрезка [a,b]. Нижней суммой Дарбу называется сумма

s(f,D)=, mk =.

Верхней суммой Дарбу называется сумма Примеры решения задач курс лекций Интегрирование элементарных дробей Интегральное исчисление.

S(f,D)=, Mk =.

Геометрический смысл сумм Дарбу см. файл 2_2_1.swf.

2.Свойства сумм Дарбу. Степенные ряды Математика лекции примеры решения задач

Определение. Если разбиение D2 получено из разбиения D1 добавлением некоторого числа узлов, то говорят, что разбиение D2 следует за разбиением D1 (или D2 является более мелким, чем D1), при этом пишут D1  D2 .

Для любого разбиения D и набора промежуточных точек xÎD имеют место соотношения

s(f,D) £ s( f,D,x) £ S(f,D), s(f,D) = s( f,D,x), S(f,D) = s( f,D,x).

Следует непосредственно из определения интегральных сумм и сумм Дарбу.

2) Если D1  D2 два разбиения данного отрезка, то

s(f,D1) £ s(f,D2) , S(f,D2) £ S(f,D1) .

Другими словами, при измельчении разбиения нижние суммы могут только возрасти, а верхние суммы могут только уменьшиться. Это утверждение достаточно доказать для случая, когда второе разбиение получено из первого добавление всего одной точки. Пусть новая точка появилась на отрезке [x¢k, x¢k+1]. Таким образом, во втором разбиении эта точка будет иметь номер k+1 и [x¢k, x¢k+1] =[x¢¢k, x¢¢k+1] È[x¢¢k+1, x¢¢k+2] (см. рисунок Дарбу2.swf из файла иллюстраций к курсу). Рассмотрим нижние суммы Дарбу. Нижняя грань по всему множеству [x¢k, x¢k+1] будет меньше или равна, чем нижняя грань по части этого множества, поэтому m¢k£ m¢¢k , m¢k£ m¢¢k+1 . Отличие сумм s(f,D1), s(f,D2) состоит в том, что во второй сумме вместо слагаемого m¢k(x¢k+1 - x¢k) появились два слагаемых m¢¢k D¢¢k+ m¢¢k+1 D ¢¢k+1. Таким образом, разность сумм

s(f,D2) - s(f,D1) = m¢¢k D¢¢k + m¢¢k+1 D ¢¢k+1 - m¢k D¢k = m¢¢k D¢¢k + m¢¢k+1 D ¢¢k+1  -

- m¢k (D¢¢k +D ¢¢k+1) = (m¢¢k - m¢k) D¢¢k +( m¢¢k+1 - m¢k ) D ¢¢k+1 ³ 0.

Здесь D¢k = x¢k+1 - x¢k = x¢¢k+2 - x¢¢k = x¢¢k+2 - x¢¢k+1 + x¢¢k+1 - x¢¢k = D¢¢k+1 +D ¢¢k .

Аналогично доказывается утверждение для верхних сумм Дарбу.

Для любых разбиений D1 ,D2 данного отрезка справедливо неравенство

s(f,D1) £ S(f,D2).

Обозначим через D3 = D1 ÈD2 разбиение, образованное всеми узлами двух исходных разбиений. Очевидно D1  D3 , D2  D3 . Тогда, как это следует из предыдущего свойства

s(f,D1) £ s(f,D3) £ S(f,D3) £ S(f,D2),

откуда и следует доказываемое неравенство.

 

  Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у ;f(x,y)) пространства Oxyz 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач