Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Определенный интеграл

Интеграл Римана Определения

Пусть функция f(x) определена на [a,b]. Разбиением отрезка [a,b] называется набор точек D={a=x0< x1<…< xn=b}. Обозначим через x набор промежуточных точек для D, x={xk}, xkÎ[xk,xk+1], k=0,1,…,n -1. Интегральной суммой для набора f, D, x называется выражение

 (1)

Величина l(D)=(xk+1 - xk) называется характеристикой разбиения D, точки xk называются узлами разбиения. Выбор промежуточных точек x для данного разбиения D мы будем обозначать xÎD.

Определение. Предел интегральных сумм s(f,D,x) при l(D)®0 (если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек ) называется определенным интегралом от функции f на отрезке[a,b] и обозначается

=. Математический анализ Математика лекции примеры решения задач

Более точно это определение выглядит следующим образом:

$J"e>0$d>0:(l(D)<d,xÎD)Þ|s(f,D,x)-J|<e.

Функция, для которой существует интеграл, называется интегрируемой на данном отрезке.

Пусть функция f(x) интегрируема на [a,b]. Выберем какую-либо последовательность разбиений Dm , удовлетворяющую условию . Для каждого из этих разбиений будем считать заданным некоторый набор промежуточных точек x mÎDm. Соответствующую интегральную сумму обозначим sm = s( f,Dm,xm). Из определения интеграла следует, что

=

  Простейшим разбиением отрезка является разбиение с равноотстоящими узлами Dm ={},  =a+k, k=0,1,…,m. Очевидно . В качестве промежуточных точек выберем середины отрезков разбиения . Полученную таким образом последовательность интегральных сумм 

sm = s( f,Dm,xm)= будем называть стандартной последовательностью интегральных сумм. В качестве последовательности реализующей значение интеграла можно брать суммы, где промежуточные точки совпадают с левыми или правыми концами отрезков разбиения. Например, для левых концов

=.

Пример. Частный случай. Если функция f интегрируема на [0,1], то

=.

Теорема. Если функция интегрируема, то она ограничена. Математика лекции и примеры решения задач Приведем примеры вычисления частных производных. Как говорилось выше, для вычисления частной производной по x функции z=f(x,y) нужно положить переменную y равной константе, а при нахождении частной производной по y нужно считать константой переменную x.

Доказательство. Предположим противное, функция f(x) не ограничена на отрезке [a,b]. Тогда найдется последовательность t mÎ[a,b], сходящаяся  и такая, что . В дальнейшем рассмотрим лишь случай, когда t0Î(a,b). Пусть e=1 для него

$d>0:(l(D)<d,xÎD) Þ |s(f,D,x)-J|<1, (2)

где =J. Выберем l(D)<d так, что точка t0 является внутренней точкой некоторого отрезка [xp,xp+1] разбиения D. Можно считать, что {t m}Ì[xp,xp+1]. В качестве промежуточных точек xmÎ D выберем для определенности середины отрезков разбиения, за исключением отрезка [xp,xp+1], в котором промежуточной точкой будем выбирать = t m. Тогда

=A+(xp+1-xp), (3)

через A обозначена остальная часть интегральной суммы, не зависящая от m. Из (3) следует, что выбором номера m можно сделать интегральную сумму (3) сколь угодно большой. С другой стороны, как это следует из (1),

J – 1 < s( f,D,xm) < J + 1.

Полученное противоречие завершает доказательство.

2.Геометрический смысл интеграла Римана ( см. рис. 2_1_2.swf ).

  Интегральная сумма представляет собой сумму площадей прямоугольников, построенных на отрезках разбиения [xk,xk+1] с высотой f(xk). При достаточно мелком разбиении D эту суммарную площадь естественно считать приближенно равной площади фигуры, ограниченной графиком функции ( здесь мы считаем, что f(x)>0) осью абсцисс и прямыми x=a, x=b. Такое наблюдение приводит к мысли использовать определенный интеграл для формального определения площадей подобных областей. Точное определение площадей плоских фигур будет рассматриваться в курсе позже.

 

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач