Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Теорема Ролля о нуле производной Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: f(x)=  ln2x, x0 =1. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Теорема. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f(a)=f(b). Тогда

$ x0Î(a,b):f¢(x0)=0.

Доказательство. Положим , . Хотя бы одна из точек x1, x2 внутренняя и для этой точки утверждение следует из теоремы Ферма.

3.Теорема Лагранжа о конечных приращениях Составим уравнение Математика решение задач прямой AD. Аналитическая геометрия

Теорема. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b), то

$xÎ(a,b):f(b)-f(a)=f¢(x)(b-a).

Доказательство. Рассмотрим функцию

. Для этой функции F(a)=F(b)=0, и к ней применима теорема Ролля

.

Геометрическая интерпретация.

Существует точка, касательная в которой, параллельна хорде, соединяющей точки A и B графика.

 

Следствие 1.Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f¢(x)º0 на (a,b), то f(x)ºconst.

Применяя теорему к произвольному отрезку [x0,x], где x0 произвольная фиксированная точка, получим f(x) - f(x0)=f¢(x)(x - x0)=0, т.е. f(x) = f(x0).

Следствие 2. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f¢(x)=g¢(x) на (a,b), то f(x)=g(x)+ const.

Элементы теории множеств Множество относится к числу первичных, неопределяемых понятий математики. Под словом «множество» обычно понимается совокупность тех или иных объектов, объединенных каким-либо общим признаком или свойством. Примеры. Множество товаров и услуг, бюджетное множество, множество производственных возможностей, множество ресурсов производства, множество действительных чисел, множество точек прямой, множество точек на плоскости, множество векторов, множество функций, множество функций одной переменной, множество корней квадратного уравнения, множество точек пространства и т. д.

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач