Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Непрерывные функции

Непрерывность обратной функции.

Еще раз определение обратной функции. Пусть f(x) определена на X, Y – множество ее значений. Предположим, что различным значениям x1 и x2 соответствуют различные значения y1 =f(x1), y2=f(x2). Тогда для любого yÎ Y $!xÎX:y=f(x), такое соответствие y® x называется обратной функцией и обозначается x=f -1(y).

Лемма. Обратная функция для строго монотонно возрастающей функции, будет строго монотонно возрастающей функцией. Обратная функция для строго монотонно убывающей функции, будет строго монотонно убывающей функцией.

Доказательство. Например, пусть f(x) монотонно возрастает. Если y1 ,y2 из области значений функции f(x) и y1 < y2 , то f -1(y1) £ f -1(y2). Действительно, если предположить противное: x1= f -1(y1) > x2= f -1(y2) , то из условия монотонного возрастания функции f(x) получим неравенство y1= f(x1) ³ f (x2)=y2 , что противоречит условию y1 < y2 . Аналогично доказывается, что обратная к монотонно убывающей функции является монотонно убывающей функцией.

Теорема ( существование обратной функции у монотонной ) Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Если y=f(x) строго монотонно возрастает на [a,b] и непрерывна там, то на Y=[f(a),f(b)] существует обратная функция и является непрерывной на этом множестве. Составим Математика решение задач уравнение высоты , проведенной из вершины на сторону как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой . Аналитическая геометрия

Доказательство. Существование обратной функции следует из строгой монотонности. Кроме того, обратная функция также будет монотонной с областью значений [a,b]. Из критерия непрерывности монотонной функции следует ее непрерывность.

Элементы теории множеств Множество относится к числу первичных, неопределяемых понятий математики. Под словом «множество» обычно понимается совокупность тех или иных объектов, объединенных каким-либо общим признаком или свойством. Примеры. Множество товаров и услуг, бюджетное множество, множество производственных возможностей, множество ресурсов производства, множество действительных чисел, множество точек прямой, множество точек на плоскости, множество векторов, множество функций, множество функций одной переменной, множество корней квадратного уравнения, множество точек пространства и т. д.

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач