Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Непрерывные функции

Критерий непрерывности монотонной функции.

Теорема. Для того, чтобы монотонная функция f(x) определенная на [a,b] была непрерывна на [a,b] необходимо и достаточно, чтобы множество значений f(x) заполняло целиком отрезок с концами f(a), f(b) (либо[f(a), f(b)] либо [f(b), f(a)]).

Доказательство.

Лемма. Для монотонно возрастающей на данном отрезке функции существуют: для "x0Î(a,b], и

 для "x0Î[a,b). Математика решение задач Непрерывность функции в точке

Доказательство леммы. Положим для некоторого x0Î(a,b], A=, тогда для "xÎ[a,x0):f(x)£A и для "e>0$ x¢Î[a,x0):A-e <f(x¢). Так как функция монотонно возрастает, то "xÎ(x¢,x0):A-e < f(x¢) £ f(x)£A. Таким образом, равенство  доказано.

Аналогично для предела справа . Для монотонно убывающей функции справедливо похожее утверждение.

Следствие 1. Монотонно убывающая на [a,b] функция имеет конечные односторонние пределы. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Следствие 2. Монотонно убывающая (возрастающая) на [a,b] функция может иметь там лишь разрывы первого рода.

Доказательство критерия. Функцию будем предполагать монотонно возрастающей. Необходимость уже была доказана ранее ( пункт 4, следствие 2).

Достаточность. Предположим противное. В точке x0 имеется разрыв. Этот разрыв обязан быть разрывом первого рода и, следовательно, должно нарушаться одно из двух соотношений f(x0 - 0)= f(x0), f(x0)=f(x0+0). Пусть f(x0)¹f(x0+0). Так как функция возрастает, то это означает, что f(x0)<f(x0+0). По лемме f(x0+0)=. Имеем f(x)£ f(x0) при x £ x0, f(x0) < f(x0+0) £ f(x) при x > x0. Таким образом, значения между f(x0), f(x0+0) не достигаются, что противоречит условию теоремы.

Аналогично проводится доказательство в случае существования разрыва слева.

Замечание. Для монотонно убывающей функции доказательство проводится заменой f на –f.

Элементы теории множеств Множество относится к числу первичных, неопределяемых понятий математики. Под словом «множество» обычно понимается совокупность тех или иных объектов, объединенных каким-либо общим признаком или свойством. Примеры. Множество товаров и услуг, бюджетное множество, множество производственных возможностей, множество ресурсов производства, множество действительных чисел, множество точек прямой, множество точек на плоскости, множество векторов, множество функций, множество функций одной переменной, множество корней квадратного уравнения, множество точек пространства и т. д.

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач