Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Некоторые понятия математической логики (Дж. Маллас Пролог)

  При описании логики Аристотеля употребляется понятие суждение. Суждение представляет собой законченную мысль, выраженную средствами естественного языка и (согласно Аристотелю) состоит из четырех элементов: квантор, субъект, связка, предикат. Функции нескольких переменных Пример. Найти область определения функции Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Примеры:

 

Квантор

  Субъект

Связка

Предикат

1

Все

числа

являются

не рациональными

  2

 

Некоторые

натуральные числа

-

четны

 

В последнем случае подразумевается связка “являются”. В первом случае обычно говорят также: “Все числа не являются рациональными”. Вместо термина предикат мы будем использовать также термин свойство. Противоположное свойство P или отрицание свойства P обозначается значком  или .

 Математика решение задач Исследовать систему уравнений

В традиционной логике допускаются два типа суждений, каждый из которых характеризует возможные отношения между двумя классами (классом субъектов и классом предикатов):

Все S являются P ( каждый из S удовлетворяет свойству P )

Примеры решения задач курслекций Функция Примеры решения задач курслекций f(x) = ln(1 + x). Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Некоторые из S являются P ( существует представитель из S, удовлетворяющий свойству P )

Здесь S обозначает класс субъектов, а P - класс предикатов ( или некоторое свойство, характеризующее этот класс ). Все, каждый, любой, произвольный называются универсальным квантором или квантором общности. Квантор общности обозначается значком ". Некоторые из, существует - экзистенциальные кванторы. Квантор существования обозначается значком $. Таким образом, основные типы суждений можно записать в следующей форме ( логической связке соответствует символ двоеточия ):

"xÎS:P

$xÎS:P

Предикат и субъект в суждении могут быть составными, в частности они сами могут быть суждениями. Например, рассмотрим высказывание (суждение):

"e>0 $d>0 "x,|x-x0|<d : |f(x)-2|<e.

Это высказывание следует читать так: Для любого эпсилон больше нуля существует дельта больше нуля, (что) для всех икс, удовлетворяющих неравенству …, выполнено неравенство …. Это суждение является составным и может быть разложено на простейшие суждения следующим образом:

"eÎS1 : P1, где S1-класс субъектов, S1={xÎR,x>0}, P1 - предикат,

P1=($dÎS2 : P2), где S2=S1, P2 - предикат,

P2=("xÎS3: P3), S3= S3(d)={xÎR:|x-x0|<d}, P3 – предикат (свойство) |f(x)-2|<e.

Прямая и обратная теоремы, эквивалентность, метод математической индукции

  Структура простейшей теоремы выглядит следующем образом: дано свойство A (условие) , из него выводится свойство B (заключение).

В этом случае говорят A влечет B (A из следует B) и пишут A  B . Последняя запись подразумевает, на самом деле, истинность выражения A  B.

Если к тому же B  A, то говорят, что верна и обратная теорема и пишут AÛ B, при этом A и B называются эквивалентными.

Теорема. Отрицание суждения должно строиться по следующим формальным правилам:

1. квантор " заменяется на квантор $

2. квантор $ заменяется на квантор "

3. предикат P заменяется на свое отрицание.

Пример:

"e>0 $d>0 "x,|x-x0|<d : |f(x)-2|<e.

его отрицание

$e>0 "d>0 $x,|x-x0|<d : |f(x)-2|³e.

Доказательство достаточно провести для двух типов простейших суждений:

1. " x: P

2. $ x: P.

Для таких суждений сформулированная теорема достаточно очевидна.

Метод математической индукции

Имеется последовательность свойств Pn. Если доказано свойство P1 и 

Pk  Pk+1, то Pn справедливы для n  N.

 

Элементы теории множеств Множество относится к числу первичных, неопределяемых понятий математики. Под словом «множество» обычно понимается совокупность тех или иных объектов, объединенных каким-либо общим признаком или свойством. Примеры. Множество товаров и услуг, бюджетное множество, множество производственных возможностей, множество ресурсов производства, множество действительных чисел, множество точек прямой, множество точек на плоскости, множество векторов, множество функций, множество функций одной переменной, множество корней квадратного уравнения, множество точек пространства и т. д.

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач