Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Непрерывные функции

Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции

Теорема. Если непрерывная на [a,b] функция f(x) принимает на концах промежутка значения разных знаков, то $cÎ(a,b):f(c)=0. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости . Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Доказательство. Пусть A=f(a)£ 0, B=f(b)³ 0. Далее производится последовательное деление отрезка пополам так, что f(an)£ 0£ f(bn). Общий шаг этого процесса: Обозначим середину отрезка [an, bn] через cn=. Обозначим [an+1, bn+1] тот из отрезков [an, cn], [cn, bn] , на концах которого функция принимает значения разных знаков f(an+1)£ 0£ f(bn+1). В результате этой процедуры будет построена последовательность вложенных, стягивающихся к нулю отрезков {[an, bn]} , таких, что f(an)£ 0£ f(bn).

an£ c£ bn, bn - an® 0Þan=c=bn ,

f(an)£ 0£ f(bn)Þ f(c)£ 0£ f(c)

Следствие 1. f непрерывна на [a,b], f(a)¹f(b). Тогда для "M из промежутка f(a), f(b) $cÎ[a,b]:f(c)=M

Доказательство: A=f(a)<B=f(b), доказанную теорему применяем к функции F(x)=f(x) – M . Математика решение задач Односторонние пределы

Следствие 2. Пусть f(x) непрерывна на [a,b], m=inf f(x), M = sup f(x), тогда множеством значений этой функции будет отрезок [m,M].

Элементы теории множеств Множество относится к числу первичных, неопределяемых понятий математики. Под словом «множество» обычно понимается совокупность тех или иных объектов, объединенных каким-либо общим признаком или свойством. Примеры. Множество товаров и услуг, бюджетное множество, множество производственных возможностей, множество ресурсов производства, множество действительных чисел, множество точек прямой, множество точек на плоскости, множество векторов, множество функций, множество функций одной переменной, множество корней квадратного уравнения, множество точек пространства и т. д.

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач