Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Непрерывные функции

Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса.

Лемма. Если {xn}Ì[a,b] и xn=x0, то x0Î[a.b]. Проверить, может ли функция быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да – восстановить ее, при условии . Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Доказательство. Теорема о переходе к пределу в неравенствах.

Теорема 1(Первая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на [a,b] функция f ограничена на [a,b].

Доказательство. Ограниченность: $M"xÎ[a,b]:|f(x)|£M. Отрицание "M$xÎ[a,b]:|f(x)|>M. В частности, "n$ xnÎ[a,b]:|f(xn)|>n. По теореме Больцано-Вейерштрасса найдется сходящаяся подпоследовательность {}® x0, x0Î[a,b]. Тогда, с одной стороны |f()|>nk, с другой стороны f()®f(x0).

Теорема 2. Непрерывная на [a,b] функция f(x) достигает своих точных верхней и точной нижней граней. Математика решение задач Предел и непрерывность функции

Доказательство. Пусть M= f(x), "n$ xn:M-1/n<f(xn)£M. Выберем сходящуюся подпоследовательность ®x0, x0Î[a,b], M-1/n<f()£M . Переходя к пределу в этих неравенствах при k®¥ получим требуемое равенство f(x0)=M.

Элементы теории множеств Множество относится к числу первичных, неопределяемых понятий математики. Под словом «множество» обычно понимается совокупность тех или иных объектов, объединенных каким-либо общим признаком или свойством. Примеры. Множество товаров и услуг, бюджетное множество, множество производственных возможностей, множество ресурсов производства, множество действительных чисел, множество точек прямой, множество точек на плоскости, множество векторов, множество функций, множество функций одной переменной, множество корней квадратного уравнения, множество точек пространства и т. д.

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач