Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Предел функции

Определение предела по Гейне Найти массу тела , ограниченного поверхностями: ; ; ; ; плотность массы тела . Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Вспомогательные определения.

Последовательностью типа Гейне {xn} при x® x0 (или в x0) заданной функции f(x) c областью определения X называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

{xn}ÌX

xn ¹ x0

Математика решение задач Дифференцируемость ФНП

Последовательностью типа Гейне {xn} при x®x0 – 0 называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

 

1) {xn}ÌX

2) xn<x0

3)

Последовательностью типа Гейне {xn} при x® x0+0 называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

 

1) {xn}ÌX

2) xn>x0

3)

Последовательностью типа Гейне {xn} при x®¥ называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

 

1) {xn}ÌX

2) ------

3) =¥

Последовательностью типа Гейне {xn} при x®+¥ называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

 

1) {xn}ÌX

2) ------

3) =+¥

Последовательностью типа Гейне {xn} при x® -¥ называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

 

1) {xn}ÌX

2) ------

3) =-¥

 

Определение предела по Гейне . Пусть f определена в проколотой окрестности a (число или символ), A - число или символ называется пределом f(x) при x® a по Гейне, если для любой последовательности типа Гейне при x®a будет выполнено

.

Предел слева, справа определяется аналогично. Меняется только тип последовательности Гейне.

Эквивалентность двух определений

Доказательство. Если  по определению Kоши , то   и по определению Гейне (общий случай: A, a – числа или символы).

Пусть  по Коши. Пусть {xk} последовательность типа Гейне при x®a. Для данной окрестности U(A) существует проколотая окрестность  такая, что (xÎÇX)Þ (f(x)ÎU(A)). (1)

Так как =a , то для U(a) существует N "n>N: xnÎ U(a). Поскольку xn ¹ a, то "n>N: xnÎ, следовательно "n>N : xnÎÇX откуда, согласно (1), будет выполнено f(xn)ÎU(A), т.е. .

Доказательство. Гейне Þ Kоши (частный случай, a и A - числа). Предположим противное $e0>0"d>0$ x,0<|x-a|<d:|f(x)-A|³e0 . Для dn=1/n будет существовать xn, 0<| xn-a|<1/n такое, что |f(xn)-A|³e0 . Построенная последовательность { xn } является последовательностью типа Гейне при x®a и, тогда по условию  , но это противоречит неравенству |f(xn)-A|³e0.

В случае символов это утверждение доказывается аналогично.

Замечание. Определение предела по Гейне позволяет переносить ранее доказанные свойства пределов последовательностей на пределы функций.

Докажем это для предела суммы двух функций.

Дано: Существуют пределы , . Пусть {xk} последовательность типа Гейне при x®a, тогда , . По свойству пределов последовательностей будет выполнено . Последнее означает, что .

 

 

Элементы теории множеств Множество относится к числу первичных, неопределяемых понятий математики. Под словом «множество» обычно понимается совокупность тех или иных объектов, объединенных каким-либо общим признаком или свойством. Примеры. Множество товаров и услуг, бюджетное множество, множество производственных возможностей, множество ресурсов производства, множество действительных чисел, множество точек прямой, множество точек на плоскости, множество векторов, множество функций, множество функций одной переменной, множество корней квадратного уравнения, множество точек пространства и т. д.

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач