Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Последовательности

Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности.

Условие Коши:"e>0$N"n>N"p:|xn+p - xn|<e

Определение. Фундаментальною последовательностью называется последовательность, удовлетворяющая условию Коши.

Т. (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность {xn} сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна. Примеры решения задач курслекций Односторонние производные функции в точке Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Доказательство: Необходимость. Последовательность сходится . Пусть e>0 . Для e¢=e/2$N"n>N:|xn -a|<e/2 для тех же n (n>N) и "p будет выполнено |xn+p -a|< e/2. Таким образом, для "n>N"p:|xn+p - xn|£ |xn+p - a|+|a - xn| < e/2+e/2=e.

  Достаточность. Пусть e >0. Для

e¢=e/2$N1"n>N1"p:|xn+p - xn|<e/2 (1)

Таким образом, все члены последовательности начиная с номера N1+1 оказались в окрестности числа  , следовательно, последовательность ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность , пусть . Для ранее выбранного e¢ Математика решение задач Теорема Вейерштрасса

 (2).

Выберем натуральное число m так, чтобы m >K и m > N1, тогда число N=nm будет больше N1 и, согласно (1)

"n>N:|xn - xN|<e/2 , (3)

с другой стороны из (2)

 (4)

Из (3), (4) получим, что при n >N будет выполнено

|xn-a|< ч.т.д. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности особой точки . Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Элементы теории множеств Множество относится к числу первичных, неопределяемых понятий математики. Под словом «множество» обычно понимается совокупность тех или иных объектов, объединенных каким-либо общим признаком или свойством. Примеры. Множество товаров и услуг, бюджетное множество, множество производственных возможностей, множество ресурсов производства, множество действительных чисел, множество точек прямой, множество точек на плоскости, множество векторов, множество функций, множество функций одной переменной, множество корней квадратного уравнения, множество точек пространства и т. д.

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач