Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Последовательности

Основные понятия, относящиеся к последовательностям

1. Ограниченная последовательность. Точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности Предел функции Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Определение. Последовательность {an} определяется как отображение множества натуральных чисел в множество действительных чисел, {an}: n®an .

Ограниченность сверху. $ b "nÎN: an £ b. Такое b называется верхней гранью последовательности {an}. Таким образом, последовательность называется ограниченной сверху, если у ней существует хотя бы одна верхняя грань.

Ограниченность снизу. $a "nÎN: an ³ a. Существует нижняя грань.

Примеры решения задач курслекций Производная обратных функций Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Ограниченность. $c "nÎN: |an| £ c. Существуют верхняя и нижняя грани.

Примеры: {(-1)n}, sin n, 

Определение точной верхней грани. b = sup {xn}:

"nÎN: xn £ b ( b есть верхняя грань )

"e>0 $nÎN: xn > b - e ( никакое меньшее число не является верхней гранью )

Аналогично определяется inf.

Пример. Написать на кванторах утверждение b ¹ sup {xn}.

b ¹ sup {xn} означает отрицание b = sup {xn}. Таким образом, выполнено

или отрицание 1), или отрицание 2). Математика решение задач Вычислить интегралы

Другими словами:

или

$nÎN: xn > b

или

  2) $e>0"nÎN: xn £ b - e

Монотонно возрастающая последовательность {an} .

"nÎN: an £ an+1

Строго монотонно возрастающая последовательность {an}.

"nÎN: an < an+1.

Аналогично даются определения монотонных убывающих последовательностей.

 

Элементы теории множеств Множество относится к числу первичных, неопределяемых понятий математики. Под словом «множество» обычно понимается совокупность тех или иных объектов, объединенных каким-либо общим признаком или свойством. Примеры. Множество товаров и услуг, бюджетное множество, множество производственных возможностей, множество ресурсов производства, множество действительных чисел, множество точек прямой, множество точек на плоскости, множество векторов, множество функций, множество функций одной переменной, множество корней квадратного уравнения, множество точек пространства и т. д.

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач